• 新型套利定义及风险中性测度关系 [page::1][page::4][page::5]：

- 在有限状态空间$\Omega$和概率族$\mathcal{P}$下，定义套利策略需满足初始价值为零，未来价值非负且在某概率测度下期望严格为正。
- 无套利与存在风险中性概率测度$\boldsymbol{Q}$等价，其中$EQ[\Delta Sm^]=0$且$Q(\omega)>0$保证风险中性估值。

• 禁止卖空市场的无套利定价框架 [page::2][page::7][page::8]：

- 卖空限制导致市场不完全，需定义风险中性测度使得$EQ[\Delta Sm^] \leq 0$。
- 证明无套利等价于存在此类风险中性测度集合$\boldsymbol{Q}$。

- 引入弱与强风险中性非线性期望，定义如下：
- 弱风险中性非线性期望满足$\inf{Q} EQ[\Delta Sm^] \leq 0$。
- 强风险中性非线性期望满足$\sup{Q} EQ[\Delta Sm^] \leq 0$。
| 风险中性非线性期望 | 条件 | 与无套利关系 |
|------------------------|--------------------------------------------------|----------------------|
| 弱风险中性非线性期望 | $\inf{Q} EQ[\Delta Sm^]\leq0$、$\sup{Q} Q(\omega)>0$ | 必要条件，不充分 |
| 强风险中性非线性期望 | $\sup{Q} EQ[\Delta Sm^]\leq0$、$\sup{Q} Q(\omega)>0$ | 充分条件，确保无套利 |

• 多期资产定价模型及卖空限制扩展 [page::11][page::12][page::13][page::14][page::15]:

- 多期市场中风险中性测度为马丁格尔测度，满足条件$EQ[Sm^(u)|\mathcal{F}t]=Sm^(t)$，禁止卖空时则为超马丁格尔测度，满足$EQ[Sm^(u)|\mathcal{F}t]\leq Sm^(t)$。
- 以多期弱强风险中性非线性期望定义无套利必要和充分条件。

- 多期风险中性估值公式：
$$
V(t) = \frac{S0(t)}{S0(T)} \sup{Q \in \mathcal{Q}} EQ[V(T)|\mathcal{F}t].
$$

• 多期对冲与超额对冲定价 [page::15][page::16][page::17]：

- 建立多期模型下对冲策略定义，证明无套利下对冲价格为$EQ[f^]$。
- 禁止卖空环境下超额对冲价格等于概率族$\boldsymbol{Q}$上的期望上确界$\sup{Q} EQ[f^]$。
- 该模型不要求$\boldsymbol{Q}$中皆为马丁格尔测度，条件更宽松。

• 理论创新点汇总 [page::3][page::10][page::17]:

- 系统引入模型不确定性下的新套利定义及基本资产定价定理。
- 首次提出并使用弱强风险中性非线性期望刻画禁止卖空市场的无套利条件。
- 将单期理论推广至多期市场，衔接对冲定价理论，具有较强的推广和应用潜力。

资产定价模型不确定性下的详尽分析报告

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1. 元数据与概览

报告标题：
Asset pricing under model uncertainty with finite time and states

作者：
Shuzhen Yang 和 Wenqing Zhang

发布机构及日期：
文献未明示机构及具体日期，但参考文献涵盖2024年内容，推测该研究为近期学术论文。

研究主题：
研究聚焦于带有模型不确定性的有限时间和有限状态结构下的资产定价问题，考虑单期及多期证券模型，加入“短售禁令”的交易限制，并探索对应的套利定义、无套利条件及风险中性概率测度，进而推导对冲策略和超额对冲价格。

核心论点与目标信息：

• 在单期模型下，提出基于概率族$\mathcal{P}$的新型套利定义，考察其与风险中性概率测度$\boldsymbol{Q}$的关系。

- 在有限时间、有限状态的市场中，分析短售禁令（禁止做空）带来的市场不完整性，进而引入弱与强风险中性非线性期望，分别给出无套利的必要和充分条件。

• 将这些结果推广至多期证券模型，建立相应的基础定理。

- 基于资产定价理论，推导无套利情况下的对冲策略及其价格，确定超额对冲策略的最小价格。

整体立意在于处理经典定价理论在模型不确定性和市场约束下的拓展，补充现有资产定价理论中对概率测度族的处理不足。[page::0][page::1][page::2][page::3]

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2. 逐节深度解读

2.1 介绍与研究背景

报告开篇强调基础资产定价定理（Fundamental theorem of asset pricing）的核心地位，并指出现有文献中多关注连续时间模型，而实际交易为离散时间，更适合用离散时间模型解释复杂概率形式（多概率评估）和市场限制（如短售禁令）。在模型不确定性（Knightian uncertainty）条件下，传统单一概率测度失效，须用概率族和次线性期望理论描述不确定性，文中基于Peng提出的次线性期望理论，结合多概率族$\mathcal{P}$构建模型，解决无套利、风险中性测度及资产定价问题，兼顾短售禁令导致的市场不完整性问题。[page::0][page::1]

2.2 单期证券模型资产定价（第2章）

模型设置：

• 有限状态空间$\Omega=\{\omega1,\dots,\omegaK\}$，

- 多个风险资产$Sm$及无风险资产$S0$，初期价格确定，期末价格随机，

• 利用概率族$\mathcal{P}$描述模型不确定性，定义对应的线性期望$EP$。

套利定义创新（定义2.1）：
套利策略需满足初期投入零、期末价值非负且对概率族中至少一个概率测度$P$的期望严格为正，即$\sup{P \in \mathcal{P}}EP[V1^]>0$，其中$Vt^$为贴现资产组合价值。这放松了经典仅基于单一概率$P$的期望条件，更适用于多概率族情形。[page::4]

基本定理（定理2.1）：
无套利等价于存在风险中性概率测度$Q$满足$Q(\omega)>0$及贴现资产收益的风险中性条件$EQ[\Delta Sm^]=0$。
其证明利用凸分析（分离超平面定理）构造合适的$Q$。
该定理拓展经典单测度理论，允许概率族存在，不要求$Q$与成员概率测度等价，但确保无套利环境存在风险中性价格机制。
资产组合的风险中性估值即为$V0=EQ[V1/S0(1)]$。[page::5][page::6]

2.3 短售禁令下的资产定价（第2.2节）

问题引出：
短售禁令限制$hm \ge 0$使市场不完整，经典基础定理不再适用，因对应函数空间非线性，自由构造策略受限。

风险中性测度定义更改（定义2.2）：
要求$EQ[\Delta Sm^] \leq 0$，同时$Q(\omega)>0$，弱化均值为零的条件，适应市场不完整情形。

等价定理（定理2.2）：
即使存在空头限制，无套利环境下也存在风险中性概率测度$Q$，其满足“不等式”约束。

由于市场不完整，$Q$难以唯一，故引入概率族$\boldsymbol{Q}$，定义弱和强风险中性非线性期望（定义2.3和2.4）：

• 弱风险中性非线性期望要求$\inf{Q \in \boldsymbol{Q}} EQ[\Delta Sm^] \le 0$；

- 强风险中性非线性期望要求$\sup{Q \in \boldsymbol{Q}} EQ[\Delta Sm^] \le 0$；
两者分别对应无套利的必要条件和充分条件（定理2.3和2.4）。

资产估值结果：
资产组合定价不再是单一定价，而是$\sup{Q \in \boldsymbol{Q}} EQ[V1/S0(1)]$，对应模型不确定且有限状态市场下带短售禁令的风险中性定价。[page::7][page::8][page::9][page::10]

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2.4 多期资产定价扩展（第3章）

模型扩展：

• 时间由单期扩展至$T$期，

- 状态空间依旧有限，

• 资产价格及交易策略适应信息过滤$\mathcal{F}t$，

- 强调自融资策略。

多期套利定义（定义3.1）：
要求初始贴现价值零，期末贴现值非负且某$P\in\mathcal{P}$期望严格为正，自融资策略。

多期基本定理（定理3.1）：
多期无套利等价于存在满足条件的风险中性概率测度$Q$，使得贴现资产价格过程为$Q$下的鞅。

短售禁令扩展（定义3.2，3.3，3.4，定理3.2～3.4）：

• 风险中性概率测度变为超鞅测度，满足条件$EQ[Sm^(u) | \mathcal{F}t] \le Sm^(t)$，

- 引入多期弱/强风险中性非线性期望为必要/充分条件。

多期资产定价表达式：
无短售禁令时，资产价格为$V(t) = \frac{S0(t)}{S0(T)} EQ[V(T)| \mathcal{F}t]$；
有短售禁令时，资产价格为$V(t) \ge \frac{S0(t)}{S0(T)} \sup{Q\in \mathcal{Q}} EQ[V(T) | \mathcal{F}t]$。[page::11][page::12][page::13][page::14][page::15]

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2.5 多期对冲策略（第4章）

对冲定义（定义4.1）：
对冲策略满足初始投资$x$，使得初始投资加上贴现收益等于标的合约的贴现价值，在概率族$\mathcal{P}$的几乎处处（$\mathcal{P}$-quasi sure，$\mathcal{P}$-q.s.）意义下成立。

对冲定理（定理4.1）：
无套利模型不确定情形，多期对冲价格为风险中性测度下的期望价$EQ[f^]$。

超额对冲（superhedging）与短售禁令（定理4.2）：
在存在强风险中性非线性期望情况下，具有短售禁令的超额对冲策略价格为概率族上期望的上确界，即
$$
\min\{x: \exists H, x + H \cdot S^(T) \ge f^, \mathcal{P}-q.s.\} = \sup{Q \in \mathcal{Q}} EQ[f^].
$$

备注：
超额对冲与对冲价格均不要求概率族$\boldsymbol{Q}$成员为鞅测度，条件更弱，适用性更广。[page::15][page::16][page::17]

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3. 图表深度解读

报告中图1（页面2）和图2（页面13）以流程图形式展示了无套利条件与风险中性概率测度之间的逻辑关系，分别反映短售禁令下单期和多期资产价格模型的理论体系。

图1解读（单期短售禁令下模型不确定资产定价）

• 描述：

展示了在存在模型不确定性和短售禁令情况下，无套利条件对应的风险中性概率测度的特性。风险中性条件从$EQ[\Delta Sm^] \le 0$变化为弱/强非线性期望条件：
- 弱条件：$\inf{Q\in Q} EQ[\Delta Sm^] \le 0$，
- 强条件：$\sup{Q\in Q} EQ[\Delta Sm^*] \le 0$。
两者均附带概率测度族支持条件，确保在状态空间中均被覆盖。

• 数据与趋势：

图中箭头和条件递进展示了风险中性测度条件的放松与强化，以对应无套利的必要和充分条件，反映市场限制影响资产定价条件的逻辑复杂性。

• 联系文本：

图1直接佐证第2.2节对于风险中性测度定义及对无套利性质的分析，强调在短售禁令环境下分离必要和充分条件的重要性。

• 局限性：

作为示意流程，图1未包含具体数值，只作为理论链条的视觉化辅助。



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图2解读（多期短售禁令下模型不确定资产定价）

• 描述：

类似于图1，但系统建立于多期证券模型架构，重点展现多期下无套利与风险中性概率测度（或超鞅测度）之间的对应关系，同样区分弱/强风险中性非线性期望。

• 数据与趋势：

图强调条件的时间一致性及递归结构，体现多期复合的不确定性与交易限制影响。

• 联系文本：

与第3.2节内容紧密关联，是多期模型下对短售禁令影响的核心理论体系示意。

• 局限性：

同样为逻辑示意，无实证数据呈现。



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4. 估值分析

本报告核心估值方法基于

• 风险中性概率测度估值：

风险中性测度$Q$下，贴现资产价格为期望值，单期为$V0=EQ[V1/S0(1)]$，多期延伸至条件期望。对应于经典期望定价思想。

• 概率族与非线性期望：

引入概率测度族$\boldsymbol{Q}$，通过$\sup$和$\inf$构造的强弱风险中性非线性期望是一种次线性或非线性估值方法，对应资产价格上下界，适应模型不确定性和不完整市场。

• 计算假设与关键参数：

利率$r$、有限状态概率分布、贴现系数、资产收益分布，以及交易限制均是估值输入。
文中尚未明确给出具体参数或数值案例，理论框架则适用于有限状态空间的完全定量分析。
永久增长率、折现率等在上下文有限状态有限时间模型中已固定为无风险利率和有限时间步长。

• 敏感性及风险中性测度选取：

不同测度$Q\in \boldsymbol{Q}$造成价格区间，而强风险中性期望对应最保守的“超额定价”，适合风险规避者。敏感性体现在选择不同风险中性测度族对估值上下界的影响。

• 次线性期望的显式计算：

报告提到次线性期望可用新的重复求和公式算出（Yang and Zhang, 2024），为模型不确定性下的计算方法提供理论支持。

总结：估值本质准确捕捉了模型不确定性和交易限制对资产价格的影响机制，通过风险中性概率测度族构造非线性定价框架，在有限状态和期间内保持理论闭式表达。

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5. 风险因素评估

报告识别的主要风险因素包括：

• 模型不确定性风险：

用概率族$\mathcal{P}$反映市场参与者对未来价格信息的不同认识，导致经典单一测度失效，提高价格评估复杂度。

• 交易限制（短售禁令）风险：

短售限制导致市场不完整，使得传统的风险中性测度唯一性和经典资本资产定价模型失效。

• 测度选择风险：

多重风险中性测度的存在使得估值面临测度选择风险，价格上下界可能较大，政策或外部冲击可能影响测度族的组成。

• 市场不完备与对冲策略风险：

市场的不完备性限制了完美对冲策略的构造，超额对冲价格更高，从而带来额外资金成本和流动性风险。

报告通过引入弱/强风险中性非线性期望缓解部分风险，同时承认在无套利要求下，可能存在较大价格区间以及对冲策略实现难度。

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6. 批判性视角与细微差别

• 模型假设的理想化：

采用有限状态和有限时间模型，虽便于理论推导，但实际市场多为连续时间和高维不确定性，存在一定理论与实际应用的距离。作者亦在结论中提出未来扩展至连续时间。

• 概率族$\mathcal{P}$的构造和选择未详述：

文中假设存在概率族及风险中性测度族$\boldsymbol{Q}$，但缺乏具体形成机制和筛选标准，实际操作中概率族的确定尤为关键且困难。

• 关于短售禁令的市场实际影响评估有限：

虽然报告指出短售禁令导致市场不完整及“高估价”，但对于禁令动态变化及市场行为反馈缺少深入讨论。

• 非线性期望计算的实务难度：

对非线性期望的计算虽有理论公式，但其复杂性和数值稳定性在实际估值大规模应用中仍需检验。

• 报告重视数学严谨性，较少考虑经济学行为因素和市场微观结构噪音，限制了对现实市场微观波动的捕捉。

整体上，报告在数学金融理论框架中表现成熟，适合学术深化，但距离实际交易策略和市场实际环境仍有一定距离。

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7. 结论性综合

本报告在资产价格理论框架中创新地将模型不确定性（以概率族表示）与市场交易限制（尤其是短售禁令）相结合，分别在单期与多期有限状态空间下：

• 提出了适用于模型不确定性的套利定义，灵活扩展传统套利概念，解决风险中性测度存在性问题。

- 引入弱与强风险中性非线性期望条件，构建了对应的必要和充分无套利判据，尤其针对短售禁令影响下的市场不完整性问题。

• 利用概率族构造资产估值框架，风险中性定价体现为所属测度族中取期望的极大（或极小）值，揭示模型不确定性带来价格区间和对冲策略难度。

- 将结果顺利推广至多期模型，包含动态自融资策略，确保理论的时序一致性和实用扩展。

• 推导了对冲策略及超额对冲策略价格，分别对应无约束和短售限制条件下的市场实际对冲需求，满足概率族下的几乎处处条件。

报告的理论贡献在金融数学资产定价范畴具有重要意义，完善了基于概率族和次线性期望的金融市场分析工具，对处理现实中存在的不确定性和交易限制问题提供了坚实的数学支撑。唯一限度在于未提供数值实验或实证检验，但理论结构清晰、自洽，符号定义严谨。

综上，报告展现了在模型不确定背景下，理性界定风险中性测度族及资产无套利价的完备理论体系，打造了下一步扩展连续时间模型及应用于实证资产定价的坚实基础。

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参考溯源

所有推断均严格基于原文分页标注，具体请参考相应引用 [page::x]。

报告