• 研报提出通过行业维度对大规模Pearson相关矩阵进行粗粒化，构造$Ns \times Ns$维度的Guhr矩阵，分别为10×10（S&P 500）和6×6（Nikkei 225），参数量从6万余降至50余或20余，极大简化了分析复杂度 [page::0][page::1]

• Guhr矩阵不完全是相关矩阵（对角非1），但保留了强行业内相关性特征，尤其是S&P 500的能源与公用事业行业，Nikkei 225的金融行业表现突出 [page::1][page::2]

• 通过对3503个S&P 500短期相关矩阵和3438个Nikkei 225数据进行$k$-means聚类构造市场状态，选取聚类数为5（S&P500）与6（Nikkei225），粗粒化Guhr矩阵和Pearson矩阵得到类似的市场状态演变轨迹 [page::3][page::4][page::6]

• 市场状态的平均相关系数排序保持一致，S&P500 Pearon与Guhr矩阵的状态3存在差异，运用功率映射(PM) $\epsilon=0.5$后差异消减，状态间转移近似三对角矩阵，验证了Markov性质 [page::3][page::8][page::10]

• 对Nikkei 225市场的分析结果也显示类似特征，Guhr矩阵的转移矩阵仍保持近三对角形，PM（$\epsilon=0.3$）对状态重叠影响有限 [page::3][page::8][page::13][page::14]

• 粗粒化大大减少了特征变量数量（从61075降至55维），降低了数据复杂度，有助于更有效的市场状态识别和风险评估，具备良好的应用潜力和推广性 [page::0][page::5]

- 研报还探讨了粗粒化方法在物理系统如自旋网络和脑电数据中的潜在应用，体现方法的广泛适用性与创新性 [page::5]

• 关于量化因子或策略：研报未涉及具体量化因子构建或量化投资策略的设计与回测，聚焦于金融市场相关结构的降维和状态识别。

金融市场宏观结构下关联矩阵精细化研究——以金融市场为范例的深度分析报告解构

---

一、报告元数据与概览

• 报告标题：Coarse graining correlation matrices according to macrostructures: Financial markets as a paradigm

- 作者：M. Mijaı´l Martı´nez-Ramos 等五位学者

• 发布机构：墨西哥国立自治大学(Instituto de Ciencias Físicas, Universidad Nacional Autónoma de México)及其他机构

- 发布日期：2024年6月27日

• 主题：基于金融市场作为复杂系统典型的相关矩阵“粗粒化”(Coarse Graining, CG)技术的研究，重点关注S&P 500和Nikkei 225两个市场，运用Guhr相关矩阵方法对传统Pearson相关矩阵进行分块平均降维处理，实现高效噪声抑制与市场状态演化的分析。

核心论点可概括为：

• 通过将Pearson相关矩阵基于行业板块粗粒化，构建所谓的Guhr矩阵，能极大压缩参数维度（例如S&P 500由61075降至55维）；

- 粗粒化处理后的Guhr矩阵在捕捉市场状态演化上表现出与传统Pearson矩阵相近的效果，但大幅减少计算复杂度；

• 结合“power map”(PM) 和$k$-means( KM)聚类技术，市场状态划分及其转移矩阵表现更优，且强化了市场状态的线性序列结构特征；

- 本方法具备广泛适用性，在风险评估、资产配置等金融决策领域具有潜在应用价值。

---

二、深度章节解析

2.1 引言（Introduction）

本节背景介绍了金融市场相关矩阵研究的起源，提及25年前对相关矩阵最大特征值的研究及2012年提出的“市场状态”(market states) 概念，明确区分了“市场状态”与“市场大势”(market regimes) 的不同，后者采用的参数更广泛。引言还掘出金融相关矩阵在资产配置、组合优化及衍生品定价等金融领域的应用价值。作者提及KM聚类对平均相关度或最大特征值的敏感依赖，同时观察到S&P 500数据中不同二维或三维映射结果间的差异，从而引出“行业相关”的粗粒化思考。

关键推理：

• 行业相关性为粗粒化提供理论基础和实际可行性；

- 直接对行业内部股票收益简单平均并不可行，需借助Guhr方法对相关矩阵进行分块平均。

2.2 数据与技术（Data and Techniques Used）

• 数据集：

- S&P 500：350只股票，2006年1月至2019年12月，3523交易日；
- Nikkei 225：150只股票，同期3458交易日。
- 筛选条件：剔除在观察期连续两天以上不交易的股票。

• 回报计算：对收盘价使用对数收益率$ ri(t) = \ln pi(t+\Delta t) - \ln pi(t) $计算；

- 相关矩阵构造：指Pearson相关矩阵$ C{ij}(\tau) $，基于滑动窗口(20个交易日，向前滑动1个交易日)计算，共得3503(S&P 500)和3438(Nikkei 225)个相关矩阵；

• 噪声抑制Power Map (PM) 运用公式：$ C'{ij}(\tau) = \text{sign}(C{ij})|C{ij}|^{1+\epsilon} $，其中 $0 < \epsilon < 1$调节噪声强度；

- 行业划分：

| S&P 500行业标签与类别 | Nikkei 225行业标签与类别 |
|-----------------------|-------------------------------------|
| CD - Consumer Discretionary | CG - Consumer Goods |
| CS - Consumer Staples | CP - Capital Goods/Others |
| EG - Energy | FN - Financials |
| FN - Financials | MT - Materials |
| HC - Health Care | TC - Technology |
| ID - Industrials | UT - Transportation & Utilities |
| IT - Information Technology | |
| MT - Materials | |
| TC - Technology | |
| UT - Utilities | |

• Guhr矩阵生成：将$N \times N$的Pearson矩阵根据行业划分为块，计算各块元素均值形成$Ns \times Ns$ 矩阵$G$，维度显著降低（S&P 500为10行列，55参数，Nikkei 225为6行列，21参数）。注意，Guhr矩阵非标准相关矩阵，因其对角元素不恒等于1。

- 可视化：利用多维尺度法(Multidimensional Scaling, MDS)将高维相关矩阵映射至三维空间以便观察市场状态分布。

2.3 主要结果与讨论（Results and Discussion）

S&P 500分析

1. 市场状态的时间演化（见图3）：

- 基于Pearson矩阵和Guhr矩阵的KM聚类均确定5个市场状态，状态按平均相关度递增排列；
- 状态3在两个矩阵之间存在显著差异，体现在时间演化轨迹（图3）及MDS投影（图4）；

1. 状态转移矩阵（图5）：

- Guhr矩阵对应的转移矩阵呈“近三对角”结构，符合马尔科夫性质验证；
- 不同状态间尤其是“临界态”（state 4）与“危机态”（state 5）之间转移次数明显减少，表明粗粒化简化了状态转移路径，增强了解释力和稳定性；

1. PM与粗粒化结合效果：

- 应用PM ($\epsilon=0.5$)之后，Pearson和Guhr矩阵得到的市场状态几乎一致，状态3差异消除，形态和转移矩阵均趋同（附录A，图A.2至A.4），说明PM和CG在降噪效果上作用类似，可视为互补手段；

1. 市场状态的线性序列表现：

- 上述市场状态随平均相关度或最大特征值按顺序排列，称为“lineality”，此序列性质有助于捕捉市场运行的连续性和过渡规律；
- CG处理时，lineality在聚类数增加到六时仍得以保持，显示出较强的通用性。

Nikkei 225分析

• 过程基本同S&P 500，5市场状态分类（图6-8），PM效果不如S&P 500明显，不能完全消除状态重叠，表明日本市场状态结构更为复杂或噪声成分更高。

- Guhr矩阵同样能简化计算维度(21参数)，转移矩阵仍近于三对角，动态表现较为稳定。

2.4 结论与未来展望

• 作者总结，基于行业板块划分的Guhr粗粒化方法，有效降低相关矩阵维度，多达10倍以上的参数压缩，且在捕捉市场状态演化、风险转移行为上保持与高维Pearson矩阵相近的表现；

- 粗粒化能够过滤噪声，保存了市场状态的线性序列特征和马尔科夫性质的转移矩阵形式，有望在风险评估和预警中发挥作用；

• PM和CG两种技术可以结合，取得更好效果；

- 未来工作包括更极端的粗粒化，如将Guhr矩阵压缩至2×2或3×3矩阵；此外，粗粒化方法延展性强，适用于其他复复杂物理系统如自旋网络和脑电图数据。

---

三、图表深度解读

3.1 图1和图2：S&P 500与Nikkei 225的整体相关矩阵（Pearson与Guhr对比）

• 描述：

- 图1(a)、图2(a)展示全时间区间内Pearson相关矩阵，可见行业内存在明显的高相关性块（如能源、金融等部门）；
- 图1(b)、图2(b)为对应的Guhr矩阵，维度分别为10×10和6×6，色彩图虽然简化但依然展现行业间不同的相关程度；

• 解读趋势：

- 相关矩阵整体呈正相关为主，未出现负相关(强负值未存活于长期平均中)；
- 部分行业板块内行业相关性较高，显著体现在能源、金融等领域，凸显板块内联动性；

• 联系文本：

- Guhr矩阵基于行业区块平均，代表粗粒度市场结构，表明行业内部和行业间关联性的重要性；
- 简化的Guhr矩阵能够保留主要相关结构，减小计算复杂度；

• 局限性：

- Guhr矩阵元素非标准相关系数，其对角非1；且未根据板块内股票数调整权重，可能导致部分板块影响力被高估或低估。

3.2 图3、图4（及附录图A.2、A.3）：市场状态时间演化及MDS结构

• 描述：

- 图3显示2006-2019年间S&P 500市场状态演化，分为5个类别，依据平均相关度排序；
- 图4显示对应的3503个相关矩阵通过多维尺度法映射到三维空间，不同状态的样本点以不同颜色区分；
- 附录A对应图显示应用PM后Pearson与Guhr矩阵状态与分布趋同；

• 数据解读：

- 未用PM时，Pearson和Guhr状态3存在明显差异，说明粗粒化影响部分市场状态识别；
- 应用PM后差异消失，表明PM降低了噪声，使粗粒化矩阵与传统矩阵表现一致；
- MDS图中，各状态点分布紧凑，无重叠，体现聚类清晰性；

• 文本联系：

- MDS投影和状态时间演化共同反映了市场状态的动态演进，且间关系一致性得到验证；
- 图表共同佐证粗粒化与PM两者有效减少噪声，使市场状态划分更稳健。

3.3 图5、图8（及附录图A.4、A.8）：市场状态转移矩阵

• 描述：

- 展示状态转移统计频数构成的转移矩阵，数值表示从状态i转移到状态j的次数；

• 数据与趋势：

- 转移矩阵整体接近三对角结构，表示市场状态沿状态值有序稳定转移，较少出现跨状态跳跃；
- CG矩阵的三对角性质更为明显，状态间转移路径更为清晰、连贯；
- PM处理提升了Pearson矩阵转移矩阵的三对角程度，逐步接近CG矩阵表现；

• 文本联系与结论：

- 三对角矩阵结构符合马尔科夫过程基本假设，为动态风险评估和状态预测提供良好数学基础；
- CG矩阵减少了极端状态之间的跳转，体现噪声和异常值压缩效果。

3.4 附录A的优化分析

• 图A.1、A.5 表明市场状态数量(k) 和PM参数$\epsilon$ 的不同组合对聚类质量（用组内距离标准差$\sigma{intra}$衡量）的影响；

- S&P 500最优参数为$k=5$, $\epsilon=0.5$；Nikkei 225为$k=6$, $\epsilon=0.3$；

• 优化后的PM+CG联合方法状态划分更加稳定，效果较非PM处理更优。

---

四、估值分析

该报告非典型金融分析报告，不涉及公司估值或股价目标价格。无传统的DCF、市盈率、EV/EBITDA等估值模型，本报告重点在于统计物理和复杂系统角度研究金融市场状态演化和降维技术。

---

五、风险因素评估

报告以科学研究为主，未显式列出风险因素，但可根据内容推断金融市场状态分析的潜在风险包括：

• 市场异常波动风险：COVID-19阶段市场状态出现全新变化（[23]引文），但本研究时间区间未覆盖该阶段，未来需关注疫情等事件影响；

- 技术风险：粗粒化方法未必适合所有风险评估应用，特别是对极端风险事件的识别可能不敏感；

• 模型假设风险：转移矩阵的马尔科夫假设和市场状态划分的稳健性依赖于参数选择和市场数据的清洗，参数设定不当可能影响结果；

- 数据完整性风险：剔除停牌股票带来样本偏差，可能对结果产生隐性影响。

报告并无明确风险缓解策略，如需用于实际金融决策，需结合其他风险管理手段。

---

六、批判性视角与细微差别

• 技术强烈依赖数据预处理与参数设置：KM聚类、PM噪声抑制参数$\epsilon$及粗粒化行业划分这些环节均会影响结果，报告虽给出优化方案，但参数的稳定性和泛化能力值得关注；

- Guhr矩阵本质非标准相关矩阵，对角不为1，这对传统基于相关矩阵的理论解释影响需谨慎，未来可探讨如何校正；

• 不同市场性质差异明显：S&P 500及Nikkei 225两者应用效果存在差异，显示模型对不同市场特性的敏感度，提示适用范围需具体评估；

- 缺乏极端事件的覆盖：排除COVID期间数据限制了模型对极端事件检测的能力，需未来扩展验证；

• 报告主体方法较为独特，专注复杂系统视角，潜在金融实务连结需进一步深化。

---

七、结论性综合总结

本报告围绕金融市场中股票收益相关关系的宏观结构展开，提出通过行业板块的粗粒化方法（Guhr矩阵）对传统Pearson相关矩阵进行压缩，极大减少了参数空间，从61075维至55维（S&P 500），或从的N×(N-1)/2维 降至仅21维（Nikkei 225），显著降低计算难度并有效抑制噪声。

在市场状态识别方面，粗粒化方法与基于全局Pearson矩阵的聚类结果高度一致，同时保证了市场状态时间演化的动态特征和转移矩阵的马尔科夫性质，表现出更清晰的状态序列结构（线性状态序列）和更优异的状态转移稳定性。PM噪声抑制技术与CG相辅相成，联合作用下模型表现更一致。

图表深入表明，行业内部相关性在市场状态演化中扮演核心角色，Guhr矩阵保留了行业间的主要相关信息，降低了维度负担，使得复杂的市场状态变得易于理解和建模。状态转移矩阵近乎三对角，反映市场状态发生较为平滑的连续转移，且粗粒化方法有效减少极端跳变次数，可能增强风险预警准确度。

该方法具有良好的普适性，未来可尝试更极端的粗粒化和应用于其他复杂物理系统。尽管报告未涉及直接估值或风险管理策略，但其在金融市场状态动态研究领域提供了新思路，尤其适用于量化分析、风险识别以及复杂系统建模。

综上，报告作者明确展现了粗粒化技术作为减少参数并保持动态结构意义的有效工具，推荐将其作为金融复杂系统研究的重要辅助方法。[page::0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14]

---

附：全文关键图表索引（部分以Markdown格式展示）

• 图1：S&P 500市场的Pearson与Guhr相关矩阵可视化

• 图2：Nikkei 225市场的Pearson与Guhr相关矩阵可视化

• 图3：S&P 500市场状态时间演化对比（Pearson vs Guhr）

• 图4：S&P 500 相关矩阵的3D多维尺度投影

• 图5：S&P 500市场状态转移矩阵及马尔科夫性验证

• 图6-8及附录图：Nikkei 225市场状态、MDS投影及转移矩阵，与S&P 500分析类似。
• 附录A图：PM参数优化热力图及对应S&P 500和Nikkei市场经过PM+CG的状态演化、投影及转移矩阵。

---

以上为对报告的极为详尽和结构化分析，涵盖技术方法全文解读、数据与模型关键环节、图表深入诠释、方法优势与潜在风险、未来展望等核心内容。文章理清了金融高维相关矩阵降维的有效路径及市场状态演化的内在逻辑。

报告