研究背景与动机 [page::1]

• Bachelier模型因可处理标的负值，近年来在利率及商品期货市场中重新受到重视。

- 现有Black–Scholes模型隐含波动率微笑渐近理论已由Benaim和Friz建立。

Bachelier模型公式与正则变换函数基础 [page::1][page::2][page::3]

• 采用Bachelier标准化看涨期权价公式定义隐含波动率，并给出该价差的上下界。

- 引入正则变换函数，定义与其关键性质，铺垫渐近结果的数学基础。

隐含波动率微笑渐近行为及两侧公式推导 [page::4][page::5][page::6][page::7]

• 在收益分布满足指数矩条件(IR/IL)时，推导出隐含波动率大价内（正、负偏离）渐近公式。

- 明确隐含波动率平方与波动率价差的比率和收益分布尾部分布函数负对数之间的对应关系。

特征函数解析带边界条件及其与隐含波动率的联系 [page::7][page::8]

• 提出条件I：特征函数在水平解析带边界处的导数呈现有规律的发散行为。

- 证明边界参数λ对应收益分布尾部指数衰减速率，从而确定隐含波动率边翼线性增长且斜率与λ成反比。

• 理论适用范围包括Heston模型、Lévy模型和加法模型等常见量化金融模型。

结论及应用意义 [page::9]

• 论文首次将隐含波动率微笑的渐近解析从Black–Scholes延拓至Bachelier模型。

- 理论为定价和风险管理中隐含波动率尾部行为的理解和建模提供数学支持，尤其适用可取负值的标的。

深度分析报告: 《Smile asymptotic for Bachelier Implied Volatility》

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1. 元数据与概览

• 报告标题: Smile asymptotic for Bachelier Implied Volatility

- 作者: Roberto Baviera、Michele Domenico Massaria

• 发布机构: Politecnico di Milano, Department of Mathematics

- 发布日期: 2025年6月11日

• 主题: 本报告聚焦于金融领域中Bachelier模型下的隐含波动率微笑（implied volatility smile）的渐近行为分析，尤其针对极端虚实程度（moneyness）条件下的隐含波动率表现。

核心论点：

报告旨在扩展Benaim和Friz对于Black–Scholes模型中隐含波动率微笑渐近的理论，建立基于正则变化理论的Bachelier隐含波动率渐近解析表达。作者还揭示了标的资产收益分布特征函数的解析条带（analyticity strip）与隐含波动率微笑尾部之间的直接联系，从而为理解波动率的极端行为提供数学工具和实用视角。

报告重点强调：

• 推导隐含波动率在远离行权价极端的渐近公式。

- 将尾部分布性质与隐含波动率微笑尾部相连接。

• 利用收益分布的特征函数解析性质深入分析隐含波动率的结构。

本文对于利率、商品期货等允许标的价格为负的市场尤为重要，因为Bachelier模型适用于实数（含负数）价格场景。

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2. 逐节深度解读

2.1 第1节 引言

• 关键论点：

作者说明Bachelier模型近年来被重新关注，尤其适合负值价格标的。提出研究隐含波动率的渐近行为理论需求。

• 逻辑与支撑：

引用Benaim和Friz为Black–Scholes环境下隐含波动率微笑渐近性提供的理论基础，报道基于正则变差理论，实现与尾部收益分布的联系。

• 主要贡献：

将Black–Scholes框架下的隐含波动率渐近扩展至Bachelier模型，证明极端虚实条件下隐含波动率可表达为明晰公式，并从特征函数解析性角度解析收益尾部衰减与波动率尾部的对应关系。

• 结构说明：

后续章节依次介绍Bachelier公式及正则变差函数理论、隐含波动率渐近推导，以及结论总结。[page::1]

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2.2 第2节 Bachelier公式及正则变差函数

• Bachelier期权定价公式的介绍：

报告中定义了无折现价的Bachelier风格call价格：

\[
c(\kappa) = \mathbb{E}[(\zeta-\kappa)^+] = \int{\kappa}^\infty (\zeta-\kappa)dF(\zeta)
\]

其中，$\zeta$是收益随机变量，$F$为其分布函数。

作者介绍了标准Bachelier定价公式（Gaussian假设收益）：

\[
cb(\kappa, \sigma) = -\kappa \Phi\left(-\frac{\kappa}{\sigma}\right) + \sigma \varphi\left(-\frac{\kappa}{\sigma}\right),
\]

其中$\Phi,\varphi$分别为标准正态CDF和PDF，并定义隐含波动率$I(\kappa)$为满足

\[
cb(\kappa, I(\kappa)) = c(\kappa)
\]

的唯一解。

• 主要贡献：

该节定性地承接Benaim和Friz工作，但将分析聚焦到标的可取实值的Bachelier框架，适合实际负价特性。

• 技术引入：Bachelier公式上下界（Lemma 2.1）：

建立隐含波动率依赖于参数$\beta>0$和变量$y>0$时，标准Bacheliercall价格的上下界：

\[
e^{-\frac{1}{2\beta} y} gl(y) \le cb\left(y, \sqrt{\beta y}\right) \le e^{-\frac{1}{2\beta} y} gu(y),
\]

其中$gl(y), gu(y)$均为随$y\to\infty$趋向无穷的正函数。具体表达形式及证明通过利用正态分布尾部估计与关键不等式构造，确保对定价公式尾部的严谨控制。

• 正则变差函数定义（Definition 2.2）：

引入正则变差函数$g$，满足比率极限

\[
\lim{x\to\infty} \frac{g(\mu x)}{g(x)} = \mu^\theta, \quad \theta \ge 0,
\]

为后续尾部分布与隐含波动率尾部渐近链接提供数学基础。

• 正则变差函数积分渐近性（Theorem 2.3）：

针对正则变差函数$g\in \mathcal R\theta$，积分项满足

\[
-\ln \intx^\infty e^{-g(y)} dy \sim g(x)
\]

此定理为估计整合型尾部分布行为提供依据。[page::2][page::3]

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2.3 第3节 Smile渐近分析

• 尾部收益分布的指数整合性条件（IR和IL）：

定义两个条件：

• (IR)：右尾存在某$\epsilon>0$使得$\mathbb{E}[e^{\epsilon \zeta}]<\infty$；

- (IL)：左尾存在某$\epsilon>0$使得$\mathbb{E}[e^{-\epsilon \zeta}]<\infty$。

这两者通过解析特征函数$\phi(\xi) = \mathbb{E}[e^{i \xi \zeta}]$在虚轴上的有限区间，即$\Im(\xi)\in (-\lambda-, \lambda+)$，确定收益分布的解析条带。

• 收益分布连接价格的数学重述（Lemma 3.1）：

通过积分和边界条件证明

\[
c(\kappa) = \int\kappa^\infty \bar{F}(\zeta)d\zeta,
\]

其中$\bar F = 1 - F$，是尾分布函数。

• 隐含波动率渐近性质（Lemma 3.2）：

隐含波动率满足：

\[
\lim{\kappa \to \infty} \frac{\sqrt{\kappa^2 + \frac{4}{\pi} I(\kappa)^2}}{\kappa + \sqrt{\kappa^2 + \frac{4}{\pi} I(\kappa)^2}} = \frac{1}{2},
\]

且

\[
\ln I(\kappa) + \frac{1}{2} = o\left( \frac{\kappa^2}{2 I(\kappa)^2} \right) \quad \text{as } \kappa \to \infty,
\]

表明隐含波动率增速受控、并与价格指数尾部紧密关联。

• 右侧微笑渐近主定理（Theorem 3.3）：

假设正则变差指标$\theta \ge 1$和(IR)满足，

从尾分布的正则变差性质

\[
-\ln \bar{F}(\kappa) \in \mathcal R\theta
\]

推导出隐含波动率渐近关系：

\[
\frac{I(\kappa)^2}{\kappa} \sim -\frac{\kappa}{2 \ln \bar{F}(\kappa)} \quad \text{as } \kappa \to +\infty.
\]

证明核心是利用前述积分渐近性质与Bachelier公式的边界估计，精确连接价格尾部信息与隐含波动率的尾部表现。

• 左侧微笑渐近（Lemma 3.4, 3.5及Theorem 3.6）：

对左尾收益分布，通过置换后的蒙特卡洛估价，隐含波动率在负向大moneyness时类似地满足

\[
\frac{I(-\kappa)^2}{\kappa} \sim -\frac{\kappa}{2 \ln F(-\kappa)},
\]

用以描述看跌极端状态的行为。

• 隐含波动率两翼总体表达：

综合左右尾部，若两边尾概率指数衰减皆符合正则变差，则

\[
\frac{I(\kappa)^2}{\kappa} \sim \begin{cases}
-\frac{\kappa}{2 \ln \bar{F}(\kappa)} & \kappa \to +\infty, \\
-\frac{\kappa}{2 \ln F(\kappa)} & \kappa \to -\infty.
\end{cases}
\]

• 与特征函数解析条带的联系（Condition I与Theorem 3.7）：

引入对特征函数$\phi(\xi)$在虚部条带两边界$\pm \lambda{\pm}$的发散跳跃性质的条件（Condition I），描述多个阶数的导数发散行为。

利用这一解析构造，结合既有文献结果，证明尾部概率分布的对数近似为线性指数衰减：

\[
\ln \bar{F}(\kappa) \sim - \lambda- \kappa, \quad \ln F(-\kappa) \sim - \lambda+ \kappa,
\]

随之联立获得隐含波动率翼部线性增长的明确极限：

\[
\lim{\kappa \to +\infty} \frac{I(\kappa)^2}{\kappa} = \frac{1}{2 \lambda-}, \quad \lim{\kappa \to -\infty} \frac{I(\kappa)^2}{\kappa} = -\frac{1}{2 \lambda+}.
\]

此结果在大部分实际模型（含Heston随机波动率、Levy过程、添加型过程等）均成立，支撑理论的广泛适用性和实证价值。[page::3][page::4][page::5][page::6][page::7][page::8]

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2.4 第4节 结论

• 本文通过正则变差理论，成功将Black-Scholes框架下渐近隐含波动率微笑规律推广到Bachelier模型，适用于标的价格允许为负的市场环境。

- 证实隐含波动率微笑两翼的尾部渐近行为与收益分布尾部直接相关，且当分布无法显式表达时，特征函数的解析性为隐含波动率尾部提供充分信息。

• 这种理论深化了对隐含波动率结构的理解，有助于更精确估计和风险管理诸如债券利率及某些商品期货等的期权市场。

总结中，作者强调了该工作在定量金融领域对隐含波动率理论与实用模型结合的贡献，并感谢了学术会议的反馈。[page::9]

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3. 图表及符号解析

报告正文未包含可供分析的图形或图表，但第10页呈现核心符号与缩写表格：

| 符号 | 描述 |
|------------------------|--------------------------------------------------------|
| $cb(y, \sigma), p_b(y, \sigma)$ | Bachelier归一化看涨（认购）和看跌（认沽）期权价格 |
| $c(\kappa), p(\kappa)$ | 无折现call和put价格，关于虚实度($\kappa$)的函数 |
| $I(\kappa)$ | 隐含波动率，依赖于虚实度 |
| $F(\cdot), f(\cdot)$ | 分别为收益的累积分布函数（CDF）和概率密度函数（PDF） |
| $\Phi(\cdot), \varphi(\cdot)$ | 标准正态分布的CDF和PDF |
| $\phi(\xi)$ | 统计意义上的收益变量特征函数 |

符号表帮助理解报告中所用到的核心量的定义，且符号说明详尽，便于跨章节术语统一理解。[page::10]

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4. 估值分析

本报告并未涉及传统意义上的公司或资产估值分析，而重点放在基于Bachelier模型的期权隐含波动率的数学渐近性质。隐含波动率的估计并非基于现金流贴现或多因子估值模型，而是依赖于概率分布尾特性与特征函数解析性，推导隐含波动率极端moneyness条件下的平方增长与分布尾指标的数量级关系。

核心估值“方法”即通过:

• 期权价格与尾概率分布的积分表达。

- Bachelier价格公式的上下界估计和正则变差理论的运用。

• 特征函数的解析条带与收益分布指数衰减率的关联。

因此这里的估值更接近隐含波动率的尾部分布驱动定价解读，而非传统企业价值评估。

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5. 风险因素评估

报告主要针对数学模型及理论分析，未显式列出金融市场中风险因素。但从内容可引申涉及的风险与局限：

• 模型适用性风险：Bachelier模型假定正态分布基础，理论延展虽广泛，但实际资产收益可能偏离假定分布特性，影响渐近关系的准确度。

- 尾部分布性质假设：渐近结果严格依赖收益分布尾部的正则变差性质与特征函数解析区间，若实际分布尾部不满足相关条件，则推论可能失效。

• 数学假设风险：特征函数的衰减和导数发散程度假设（Condition I）为核心，若实际标的模型违背，隐含波动率渐近结论需谨慎适用。

- 市场微结构变化：极端虚实期权流动性不足或市场不完善，导致隐含波动率估计偏离理论预期。

报告中并未提供具体风险缓解策略或概率评估，此为纯数学定量研究的常见特征。

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6. 批判性视角与细微差别

• 基于假设的依赖性强：

报告结果高度依赖特征函数解析性的假设以及收益尾部的正则变差特征。这些假设虽然在大部分主流量化金融模型中成立，但仍存在可能不完全适用的例外，特别是在极端市场异常行为或模型结构变异时。

• 极端尾部行为的泛化风险：

深刻剖析尾部分布，但对中间价位的波动率结构覆盖较弱，隐含波动率的细节形态可能更复杂，不仅依赖尾部分布特征函数。

• 无具体数值示例和图像：

报告没有实际数值案例或市场数据对比，理论严谨但缺少实证验证环节，限制了可直接应用或模型校准的便捷性。

• 未考虑时间演进动态：

隐含波动率随时间到期可能演化，报告更关注截面极值行为，未涉及时间序列动态理论。

• 表述中存在某些符号排版不严谨：

部分公式表达偶有格式问题，例如页面5至6夹杂换行与符号截断，影响文档流畅阅读，可能需进一步编辑润饰。

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7. 结论性综合

本报告从数学金融视角深入探讨了Bachelier模型下隐含波动率微笑的渐近特征，主要贡献在以下方面：

• 理论拓展：成功将Black–Scholes环境下基于正则变差理论的隐含波动率渐近分析推广到Bachelier模型，有效处理实值标的包括负价场景的难题。
• 数学工具应用：运用正则变差函数理论、积分渐近定理和概率分布尾端分析，建立隐含波动率与收益尾部分布间的精确联结。
• 解析特征函数关联：揭示特征函数解析条带边界直接决定隐含波动率尾部增长速度，进一步扩展理论实现对复杂模型（含随机波动率与Levy过程）的适用范围。
• 渐近性质表达清晰：报告详细推导了对于左右大moneyness，隐含波动率平方增速与尾部概率对数的关系，即

\[
\frac{I(\kappa)^2}{\kappa} \sim -\frac{\kappa}{2 \ln \bar{F}(\kappa)} \quad (\kappa \to +\infty),
\quad
\frac{I(-\kappa)^2}{\kappa} \sim -\frac{\kappa}{2 \ln F(-\kappa)} \quad (\kappa \to +\infty)
\]

以及解析特征函数评价下的极限。

• 无图表实证但严谨推导：虽无可视化图表，但符号表辅助理解，逐步数学证明完整，易于学术及技术人士进一步实现与扩展。
• 实用场景涵盖：工作对利率市场、部分商品期权等负值价格标的提供理论支撑，助力这些领域中隐含波动率结构的研究与模型改进。

综上，作者基于扎实的数学基础精确刻画了Bachelier隐含波动率微笑的极端渐近行为，填补了这一领域的理论空白，对金融衍生品定价和风险管理具有重要参考价值。[page::0] [page::1] [page::2] [page::3] [page::4] [page::5] [page::6] [page::7] [page::8] [page::9] [page::10]

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