离散时间随机回报模型及核心公式推导 [page::1][page::2]

• 模型设退休财富$W$与首次消费$c$及消费增长率$s$相关，基于随机收益率${\mathbf r}_i$定义退休可持续消费率。

- 以$W/c$的期望值导出消费率近似公式$c/W \approx \frac{\gamma}{1-(1-\gamma)^t}$，其中$\gamma$是调整后的收益率参数。

• $\gamma$综合考虑收益期望、消费增长及收益方差，揭示了消费增长和收益波动均会削弱可持续消费率。

高阶近似考虑偏度与峰度，提升模型精度 [page::4][page::5]

• 将收益分布扩展至四阶集中矩，加入偏度$\mathbb{S}[r]$和峰度$\mathbb{K}[r]$修正$\gamma$。

- 模型显示收益峰度和波动性均对安全取用率有显著拖累作用，体现了尾部风险的影响。

历史数据应用验证及不同资产类别比较 [page::6][page::7]

• 利用标普500、各期限美债ETF等数据计算各资产$\gamma$及预期取用率，估计30年退休安全年取用率大致符合或稍高于4%。

- 股票资产因高收益率机会较大，但波动和尾部风险也较高，单纯债券组合安全取用率较低且负$\gamma$表明难以维持实际消费增长。

杠杆对提高退休取用率的影响及最优杠杆比率计算 [page::3][page::7][page::8]

• 杠杆比例$l$同时放大收益和方差，存在最优$l$导致$\gamma$最大化。

- 采用含借贷利率$q$的模型，实际最优杠杆比例介于1.6至3.1之间（主要针对标普500及60/40组合），过高杠杆反而降低可持续消费率。

• 历史模拟显示，经过适度杠杆调整的组合安全取用率可提升至6%甚至更高，同时风险事件发生率降低。

历史模拟检验安全取用率及杠杆效应 [page::9][page::10]

• 对1871年-1995年间30年退休模拟，未杠杆60/40组失败率约48%，杠杆后失败率显著降低。

- 杠杆使退休组合预期消费率提升超过两倍，失败风险或退化风险降至5%以下。

• 全股票和全债券组合模拟表现类似，全部债券组合杠杆失败率相对更高且更集中于退休后期。

- 模拟结果强调了杠杆策略在实际退休资产配置中可带来的潜在增值与风险平衡优势。

结论总结及理论贡献 [page::11]

• 提供了基于收益分布前四阶矩的闭式公式，系统说明4%规则中的风险因子。

- 证明适度杠杆在退休投资中的理论与实务合理性，但指出杠杆不可无限提升。

• 历史模拟支持该模型的预测，提出通过杠杆优化退休消费策略或可提高长期生活质量。

报告题目与概览

本文报告题为《A 4% withdrawal rate for retirement spending, derived from a discrete-time model of stochastic returns on assets》，作者为Drew M Thomas，发布时间为2025年8月14日。报告主题聚焦于美国家庭退休期间，从资产投资组合中以4%的初始财富提取率进行消费的合理性及理论基础。作者通过建立一个离散时间随机资产收益模型，分析了退休消费的最佳提取率及其形成机理。报告的核心论点是，退休初期安全提取4%初始退休资产，并随通胀调整提高消费水平的“4%规则”实为资产收益的期望收益率、方差、偏态、峰值等随机特征及退休时间不确定性综合作用下的合理结果。报告不仅解释了这一长期使用的经验法则，还提出了杠杆投资在提升消费率中的作用，历史模拟数据暗示合理杠杆应用可提高提取率至6%以上，而风险水平仍保持可控。

逐节详解

I. 引言

引言部分阐明了退休规划的核心问题：如何确定退休储蓄（财富W）以支持某一消费速率（c），或者反向问消费率应设定多少以不至于提前耗尽财富。作者建立财富与消费应成正比的假设，即\( W \propto c \)，使得问题可归结为求解比例系数，即退休财富与消费比\( W/c \)或其倒数消费率\( c/W \)。报告回顾了Bengen的经典实证研究，他通过实际历史数据模拟提出“4%规则”，即首年提取不超过4%退休资产，后续根据通胀调整增长可以安全保障30年退休生活。作者指出该规则源自对投资资产组合回报的经验洞察，但缺乏数学概念上的推演与解释。

作者提出其研究动机：建立一个简单的消费衰减（decumulation）数学模型，通过理性评估资产回报的随机性，开发对“安全消费率”\( c/W \)的闭式近似解，以推导、验证甚至推广4%规则的本质和范围。为此，报告后续展开基于资产收益率的概率分布一、二甚至四阶矩计算分析，探讨方差、偏度、峰度及杠杆等因素对安全消费率的影响。

II. 模型与近似解

A. 模型设置

作者定义：

• 初始财富\( W \)

- 第一期消费额\( c \)

• 退休时长\( t \)期

- 消费每期以固定指数速率\( s \)增长，消费序列是\( c(1+s)^{i-1} \)

• 财富按照随机收益率序列\( \mathbf{r}i \)增长

财富剩余满足总财富按未消费情况下增长值，等于实际消费成本的条件，从而定义了财富-消费率比的随机表达：

\[
\frac{W}{c} = \sum{i=0}^{t-1} \frac{(1+s)^i}{\prod{j=1}^i (1+\mathbf{r}j)}
\]

为求期望，作者选取先求期望\(\mathbb{E}\left[W/c\right]\)而非\(\mathbb{E}[c/W]\)，因为例如比例的倒数的期望更趋向于保守估计，规避乐观偏差。积分收益的期望涉及产品的复杂期望，通过假设收益率\( \mathbf{r}i \)是平稳与独立分布简化计算。

B. 二阶近似与初步体会

对表达式的分母倒数采用泰勒展开至二阶截断，得到：

\[
\mathbb{E}\left[\frac{1+\mathbb{E}[\mathbf{r}j]}{1+\mathbf{r}j}\right] \approx 1 + \mathbb{V}[\mathbf{r}j]
\]

即方差会拖累期望消费能力。最终公式凝练为：

\[
\mathbb{E}\left[\frac{W}{c}\right] \approx \sum{i=0}^{t-1} \left( \frac{(1+s)(1+\mathbb{V}[r])}{1+\mathbb{E}[r]} \right)^i = \frac{1 - (1-\gamma)^t}{\gamma}
\]

其中

\[
\gamma \equiv \frac{\mathbb{E}[r] - (s + \mathbb{V}[r] + s\mathbb{V}[r])}{1 + \mathbb{E}[r]}
\]

得到一个简洁的初始提取率表达式：

\[
\frac{c}{W} \approx \frac{\gamma}{1 - (1-\gamma)^t}
\]

举例中，若无波动率，\(\gamma \approx 4.9\%\)，对应提取率6.3%；引入波动率0.029后，\(\gamma\)降至2.1%，提取率降至4.5%，接近4%规则。

C. 极限情况分析

• 当退休时间趋于无限长时，\( t \to \infty \)，提取率趋于\(\gamma\)，这对应永续消费的安全提取率。

- 当\(\gamma \to 0\)，即资产收益仅够抵消消费增长和波动，提取率趋近于平均分配寿命期内的等额消费，即\( c/W \to 1/t \)。

D. 杠杆效应分析

引入杠杆比率\( l \)，收益和波动都被放大，方差放大比收益更显著，导致\(\gamma\)存在最优值。通过一阶导数求极值，得出最优杠杆公式：

\[
l = \frac{\sqrt{1 + \frac{\mathbb{E}^2[r]}{\mathbb{V}[r]}} - 1}{\mathbb{E}[r]}
\]

计算置入Bengen数据，最佳杠杆约为1.34，初始提取率可从4.5%提升到4.7%。说明适当杠杆可略增消费能力，但过度杠杆因方差拖累反而收益递减。

E. 四阶近似

作者进一步考虑四阶矩（偏度Skewness\(\mathbb{S}[r]\)、峰度Kurtosis\(\mathbb{K}[r]\)）对\(\gamma\)的影响，通过泰勒级数展开得：

\[
\gamma \approx 1 - \frac{1+s}{1+\mathbb{E}[r]} \left( 1 + \frac{\mathbb{V}[r]}{(1+\mathbb{E}[r])^2} \left( 1 - \frac{\mathbb{V}^{1/2}[r] \mathbb{S}[r]}{1+\mathbb{E}[r]} + \frac{\mathbb{V}^2[r] \mathbb{K}[r]}{(1+\mathbb{E}[r])^2} \right) \right)
\]

这一公式比二阶近似更细致，显示峰度和偏度同样降低安全消费率，峰度尤其使\(\gamma\)下降，例如峰度从3（正态分布）升至5，会出现较明显的减少。偏态影响呈现复杂作用，正偏度可缓解峰度造成的负面效应。高级近似虽更精确，但依旧是近似，并可能高估提取能力（保守估计仍为主）。

III. 模型应用与实际数据

作者利用ETF及Shiller长期资产回报数据估算各主要资产类别的收益四阶矩，并计算对应的\(\gamma2\)和\(\gamma_4\)（二阶和四阶\(\gamma\)）。主要观察：

• 美国股市（S&P 500）月收益均值约0.9%，波动明显，偏负偏态，峰度高。

- 美国国债波动小，偏度峰度各异，但长期收益较低。

• 计算出的\(\gamma\)对债券ETF显示负值，显示波动与收益增长不足以支持消费增长，实际安全提取率远低于直觉的\(1/t\)。债券投资以低波动换取低收益，提取率低。

- 股票ETF表现强劲，估算可支撑首年提取6%以上，但考虑波动、偏峰效应后安全提取率有所降低。

• 使用历史股票和债券组合数据模拟的\(\gamma\)出现在4%到5%之间，符合Bengen经验结论。

- 组合股票债券比例、样本时段影响显著，近期股票表现优于历史长观，拉高了估计的安全提款率。

作者进一步讨论，Bengen的4%规则更接近在“最坏”情境下的最低安全额度，而本文计算是均值期望。提高退休时间长度参数\( t \)会降低安全提取率，由此调整能极好地校准经典4%结果。

杠杆函数优化（利率成本纳入）

作者在原有最优杠杆模型基础上，加入借贷成本\( q \)，即杠杆回报率为\( l r - (l-1) q \)，同时考虑收益与借贷利率的方差及协方差，建立更复杂的最优杠杆解析公式。估计借贷成本采用3个月T-Bill利率，发现：

• 真实杠杆成本大幅压缩了理论最优杠杆比例，部分资产组合最优杠杆由数倍降到1.5-3倍不等。

- 若考虑更高的零售融资利率（如经纪商融资利率比国债利率高），最优杠杆逆势进一步减少，甚至低到接近于不采用杠杆。

• 杠杆成本及利率波动会压缩杠杆空间，但总体来看，大多数组合仍存在正杠杆提升空间，杠杆优化仍具吸引力。

- 杠杆应用可有效提高安全消费率，甚至超过无杠杆最大预期回报的限制，凸显了杠杆理财可行性。

表格呈现了不同股票与债券配比投资组合在不同杠杆率和融资成本假设下，首月提取率\( c/W \)及年提取率估计，显示杠杆提升预期消费能力的潜力。

IV. 历史表现检验与模拟

作者基于历史资产回报进行蒙特卡洛模拟，复现30年退休期限的财富递减及消费，测试第二阶模型制定的提取率及最优杠杆比：

• 无杠杆情况下，模拟结果显示提取率公式平均表现良好，总财富平均能非常接近耗尽于设定退休时间。

- 但成功概率仅约50%，即约半数情形会提前耗尽财富，符合期望的均值位于安全极限附近。

• 采用最优杠杆后，消费率显著提高，同时减少了破产风险，失败率大幅下降至5%以下，显著提升投资组合稳健性。

- 杠杆带来的风险虽然增大，但失败主要集中在退休开始阶段，易于应对、且发生概率较低。

• 不同组合表现差异明显，股票为主组合成功率高于纯债组合。

- 模拟结果图清晰表现各杠杆率与消费率下资产路径走势及破产门槛，直观展示杠杆的风险与收益权衡。

V. 结论

综合上述分析，作者得出：

• “4%规则”出口于合理调整后的资产平均收益、预期消费增长率、资产收益方差及高阶矩的交互作用，非简单经验法则。

- 资产收益的方差、峰度和消费增长率对安全提取率有同等重要的拖累作用。

• 退休时间长短对安全消费率影响显著，尤其面对长寿风险，消费率必须更为保守。

- 杠杆可提升战略空间，但应谨慎以防收益波动引致风险放大。理论最优杠杆适度大约1.6-3倍，合理杠杆使用可将安全消费率提高至6%左右，显著优于无杠杆。

• 历史模拟支持模型预测，杠杆策略有望在合理融资成本下降低退休资金耗尽概率，提高退休生活质量。

- 结果为退休提取率制定与资产组合杠杆管理提供了数学基础和指导原则。

图表深度解读

表I：资产类别ETF及其收益分布特征

表1展示了主要ETF/指数代表的资产类别（美股指数、美国各种期限国债、短期国库券等）及其开盘时间，历史月度收益率的样本容量N，收益均值、方差、偏度和峰度等四个有效统计矩，以及基于模型第二阶和四阶公式计算的\(\gamma\)值。数据涵盖时间跨度最长的Shiller数据至近现代ETF。

• S&P 500相关ETF数据显示较高平均收益 (~0.9%)，但方差高达19.1%。负偏度与较高峰度（4.23）凸显其风险非对称性和极端价格波动。

- 债券ETF无论收益率还是波动均远低于股票，方差近乎股票的零头至百分之一，但其高峰度表明尾部风险仍显著。

• 计算的\(\gamma\)显示债券资产\(\gamma\)负值，意味着实际复合回报不足以支持消费增长和波动，安全提取率极低。

- 股票资产\(\gamma\)正值，安全提取率较高，且四阶模型计算的微调结果与二阶相当，整体强调方差对提取率影响最大。

表中数据为后续估算提供了基础依据及风险结构分析。

表II：不同组合及杠杆比例下的提取率估算

表2以1871–2025与1934–2025两个数据窗口分别计算60/40、100%股票和100%债券组合，在无杠杆与第二阶最优杠杆情况下的杠杆比率\( l \)、首月提取比例\( c/W \)与年提取率（AWR）。明显结论：

• 以1871–2025数据为例，最优杠杆率分别为60/40组合3.05，全部股票1.65，全部债券3.14，显著优于无杠杆下的1倍。

- 不同时间窗口下杠杆比率存在显著差异，显示估测依赖于样本期选择。

• 杠杆显著提高可持续提取率，部分组合超过8%年提取率，但考虑融资成本后最优杠杆下降，提取率亦随之修正。

该表为实际应用杠杆调整的理论依据提供定量支持。

图1：历史模拟资金曲线与失败率分析

图1含九张子图，分3行（60/40组合、全股票、全债券）与3列（无杠杆、低到中杠杆、高杠杆），展现不同初始提取率情况下30年退休资金路径。

• 横轴为退休月份（0至360个月），纵轴为剩余财富倍数（相对初始财富）。

- 虚线为失败阈值，未杠杆为零财富，杠杆为保证金破产线。

• 无杠杆图中约一半财富轨迹最终低于失败线，资本耗尽普遍存在。

- 杠杆图右移，轨迹大幅攀升，失败严重减少。

• 换言之，杠杆策略风险管理得当时，有效提高消费率且未显著增加极端失败概率。

- 失败多发生在退休初期，后期相对稳健。

图形证明理论与历史数据的契合度，为杠杆可行性提供强证据。

估值及数学方法分析

本报告的核心估值方法基于资产回报的概率分布高阶矩，通过泰勒级数展开（关于收益和其均值），构建了连续期乘积表达式的期望近似，得到投资组合的调整预期收益率参数\(\gamma\)用于衡量可持续消费率。此方法兼顾收益均值、方差、偏度及峰度，显著区别于传统以均值和方差估计的简化模型，提升了风险调整的精细度。

同时引入退休期限\( t \)概念，公式将时间联系到消费资金耗尽概率，推导出消费率与退休期限间的函数关系，使杠杆效应的优化变为二次方程求解，给出明确的数学最优点。

风险因素评估

报告清晰识别风险来源：

• 收益波动（方差）对安全提取率拖累显著，波动越大，安全提取率越低；

- 资产收益分布偏度和峰度增加尾部风险，不对称风险和极端事件降低退休资金安全边际；

• 退休时间（寿命）不确定性——长寿风险强制消费率下降，以免资金提前耗尽；

- 杠杆风险：虽然杠杆提升期望收益，但其方差和极端风险增长更快，存在最优杠杆率限制；

• 融资成本风险：实际借贷利率高于理论利率，大幅限制杠杆空间；

- 历史数据局限：模拟基于历史资产回报，未来表现可能异于历史，存在模型结构风险。

报告虽没有明显缓解风险策略，但建议通过合理杠杆控制和调整消费率来应对风险。

批判性视角与细微差别

• 报告模型核心假设为收益平稳且独立分布，现实中资产收益存在时间相关性、宏观经济周期性和非平稳性，这可能影响公式准确度；

- 对杠杆信用风险（如保证金追缴）、市场流动性风险未充分建模，实际操作风险可能被低估；

• 企业债券、另类资产、高收益资产纳入较少限制了结论的普适性；

- 偏度峰度的估计多来源历史数据并以静态数值带入，可能忽略了市场极端事件的阶段性与非对称性；

• 由于四阶矩估计难以准确，最终的四阶公式仅作参考，实际效果依然依赖于近似和数据有效性。

- 杠杆的运用假设无监管限制及市场冲击影响，在现实环境中杠杆策略门槛和操作复杂度远高于模型简化。

总的来看，模型为探索理性退休消费提供了清晰框架，但实际应用需结合其他风险管理和宏观经济分析。

结论性综合

本报告通过建立和解析一个基于随机资产收益的离散时间模型，成功为退休资金消费率制定提供了一个理论支撑框架。报告核心贡献包括：

• 推导出安全首年提取率\( c/W = \frac{\gamma}{1-(1-\gamma)^t} \)的闭式表达式，其中\(\gamma\)综合考虑了期望收益、消费增长率、收益方差、偏度及峰度等高阶矩的调节作用，阐释了知名的4%规则产生机理；

- 通过高阶矩扩展，更完整地刻画了资产风险对安全消费率的负面影响，峰度等尾部风险以量化形式被纳入考量；

• 引入杠杆比率概念，发现存在理论最优杠杆值，合理杠杆能在不显著增加破产风险的情况下提升可持续消费率；

- 基于实际ETF和Shiller数据进行参数估计，验证模型理论预测与经典经验相符，表现出4%左右为合理的安全初始消费率，且股票资产表现优于债券；

• 历史模拟验证表明模型在长期真实收益路径上对财富耗尽和消费的预测能力较好，且杠杆策略历史上有效降低了破产概率，提高了消费能力；

- 结果强调了四大制约因素：“通胀和消费增长、资产收益波动及峰态、寿命不确定性和退休消费期望、投资组合的构成及杠杆”，这些因素共同塑造了退休消费安全边际；

• 模型结果对退休规划、资产配置、杠杆运用和风险管理有重要指导意义，有助于退休理财者制定科学的资产提取与风险控制策略。

同时，模型依赖的关键参数估计、收益独立性与稳定性假设、杠杆无摩擦假设限制了应用于现实角度的全面性，后续研究可进一步融入市场微观结构、行为金融学和宏观经济变量的动态演变，提升模型的适用性和执行力。

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综上所述，报告系统论证了经典4%退休提取率规则的严谨数学基础，并拓展了杠杆资本结构对退休资金安全消费率的贡献范畴。历史数据和模拟均支持合理杠杆的有效性，指出通过精细调整投资结构和杠杆，退休者可获得显著提升的生活资金保障，在风险可控的前提下实现更高生活质量。



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