研究框架与理论模型构建 [page::0][page::3][page::6]

• 采用Lindquist–Rachev (LR) 框架，构建无风险资产的两风险资产市场模型。

- 两资产受单一样本布朗运动和共同Lévy跳跃过程驱动，跳跃通过常见跳跃模型NIG和CGMY建模。

• 导出包含跳跃项的LR-PIDE，选定期权价格作为两个资产状态变量的函数满足该方程。

- 影子短期利率$\bar{r}(t)$由两资产物理漂移和波动率确定，体现无风险资产的隐含替代 [page::2][page::5][page::6].

Lévy过程及特殊模型说明 [page::11][page::12][page::14]

• 介绍NIG过程参数$(\alpha,\beta,\delta,\mu)$，刻画尾部和偏度特征，适合中等负偏斜资产回报建模。

- CGMY过程$(C,G,M,Y)$定义了跳跃活动水平、正负跳指数衰减及跳跃结构，涵盖多种跳跃行为。VG为CGMY特例。

• 参数解释有助于反映隐含波动率微笑特征和跳跃风险偏好 [page::11][page::12][page::14].

数值方法及校准流程 [page::15][page::16][page::18][page::19]

• 期权价格通过标的资产对数价格的特征函数，结合Carr–Madan FFT和COS方法高效计算。

- 采用FFT快速生成完整行权价范围的期权定价曲线，COS方法则适合单价或中批次数目。

• 校准流程基于最小化市场价格与模型价格RMSE，迭代更新影子利率，确保参数自洽。

- 流程示意图直观显示输入市场数据，估计波动率，初始化利率，校准Lévy参数，最后迭代至收敛 [page::17][page::18][page::19].

离散时模型及跳跃二叉树验证 [page::20]

• 构建离散跳跃二叉树，定义无风险周期间增长因子对应影子利率，实现无套利定价。

- 计算上升概率使折现的期权价格马尔可夫过程，保证状态价格合理，辅助连续模型验证。

实证结果——影子短期利率与定价性能 [page::21][page::22]

• 计算SPX–NDX及BTC–ETH资产对的影子短期利率，发现其在市场压力期明显偏离官方T-Bill利率，反映风险溢价和流动性紧张。

- 校准结果显示CGMY模型相较NIG与Black–Scholes表现更优，最低相对RMSE为8.9%，NIG为9.5%，BS为11.2%。

• 参数揭示显著左尾跳跃风险，符合投资者对风险下行的溢价需求，CGMY因额外参数可更灵活拟合隐含波动率微笑曲线。

模型讨论与局限 [page::22][page::23][page::24]

• CGMY模型参数估计存在多解与局部极小情况，依赖初始值与正则化。

- 模型假设跳跃动态常定，难以完全捕捉多期限隐含波动率曲线变动，建议结合随机波动率或时间变换跳跃模型。

• 影响静态对冲的挑战说明跳跃模型实际应用需辅助工具，如OTM期权。

- LR框架提供了无风险资产缺失市场的理论支持与影子利率量化，可扩展用于衍生品套期保值和风险监测 [page::23][page::24].

积极信号

• 持续迭代计算与市场标定保证模型内部一致性，影子利率数值基本接近实际无风险利率。

- Lévy跳跃模型成功整合跳跃风险，突出风险管理价值，超越传统Black–Scholes框架。

Lévy-Driven Option Pricing without a Riskless Asset ——详细分析报告

---

1. 元数据与报告概览

报告标题： Lévy-Driven Option Pricing without a Riskless Asset
作者： Ziyao Wang
机构： Texas Tech University数学与统计系；Johns Hopkins Carey商学院
发布时间： 未明确具体日期，内容依最新引用2025年文献，推测为2024或更近
研究主题：
扩展Lindquist–Rachev (LR)期权定价框架，解决无风险资产不可交易的市场中，基于带有跳跃的Lévy过程对衍生品定价问题。核心对比了带有跳跃的资产价格动态与传统拥有风险无风险资产（如债券）的经典模型，提出“影子短期利率”概念进行贴现和风险中性定价。

核心论点摘要：

1. 在经典的期权定价模型（如Black–Scholes）强假设市场存在无风险资产的条件下，构建贴现和风险中性测度；而LR框架放弃了该假设，考虑两种高风险资产以构成完备市场并内生确定“影子”利率。

2. 报告将LR框架扩展到有跳跃的Levy过程市场，特别是聚焦于两个纯跳跃过程：Normal Inverse Gaussian (NIG)和Carr–Geman–Madan–Yor (CGMY)过程，二者因具有解析特征函数被广泛应用于实务。

1. 通过Itô–Lévy微积分，推导出LR框架下带跳跃的偏积分微分方程（LR-PIDE），并采用FFT和COS方法等数值技术，进行欧式期权定价。

4. 实证上，以标普500指数期权为对象，校准NIG与CGMY模型，结果表明这两类跳跃模型显著改善了定价精度和波动率微笑拟合，性能均优于Black-Scholes基准，其中CGMY表现最佳。

1. 影子短期利率$\bar{r}(t)$可由标的资产价格数据提取，且在流动性危机期间该利率大幅下跌，表达出传统国债收益率难以捕捉的市场紧张信号。

6. 为投资实务和理论研究搭建了跳跃风险、相对资产价和资金状态之间的内生联系。

上述内容综合自第0至2页摘要与引言部分。[page::0,1,2]

---

2. 逐节深度解读

2.1 引言与LR框架基础（第1-2页）

• 关键论点总结： 经典期权定价依赖无风险资产作为贴现基准，LR框架摒弃该假设，在无风险资产不可交易但有两个风险资产的情境下，借助两资产间的“相对定价”生成内生的影子无风险利率$\bar{r}(t)$。

- 逻辑与假设：
- 资产价格有连续和跳跃部分，实际统计数据显示跳跃性与厚尾严重违背连续高斯假设。
- 融入两种纯跳跃Lévy过程（NIG和CGMY），它们均拥有灵活的偏态和厚尾结构，且具备可解析的特征函数，适合用于期权定价。

• 数学与模型继承： 原理基于Rachev等（2017）提出的无安全资产环境下的BSM类型偏微分方程，LR框架统一不同跳跃和波动性动态，使用影子利率替代传统风险免费率以构建等价鞅测度。

- 研究目标明确列出七点，涵盖模型扩展、偏微分方程推导、分析解与数值方法、实证校准及鲁棒性考察。[page::1,2]

---

2.2 模型设定：两个资产带布朗运动及共有Lévy跳跃（第3-6页）

• 资产动态模型定义：

- 两个风险资产$S(t), Z(t)$由一维标准布朗运动$W(t)$和纯跳跃Lévy过程$L(t)$驱动。
- 跳跃过程共同驱动两个资产，利用跳跃大小$x$分别乘以缩放参数$\kappaS$和$\kappaZ$生成对两个资产的影响，允许跳跃幅度不同但同时发生，体现市场共振跳跃风险。
- SDE形式详述了漂移$\mu{S,Z}(t)$、扩散波动率$\sigma{S,Z}(t)$和补偿Poisson测度信息。

• 共有跳跃假设含义：

- 同时发生跳跃的两个资产为共同来源的风险，但因跳跃幅度参数不同，能实现跳跃风险部分对冲。完美相等时跳跃风险无法对冲（共模跳跃无法消除），$\kappaS \neq \kappaZ$时跳跃有潜在对冲条件。

• 市场完备性讨论：

- 一资产跳跃模型市场不完全。此模型两个风险因子适配两资产交易组合，理论上市场完备。
- 精细说明即使如此，真实完备仍可能不成立，必须选择适当的等价鞅测度（如Esscher变换）进行定价。

• 风险中性动态与影子利率$\bar{r}(t)$：

- 在风险中性测度$\mathbb{Q}$下，资产漂移等于影子风险利率，风险补偿隐含在跳跃测度变换。

• 影子利率表达式导出：

\[
\bar{r}(t) = \frac{\muS(t) \sigmaZ(t) - \muZ(t) \sigmaS(t)}{\sigmaZ(t)-\sigmaS(t)} + \frac{\lambda(t)(\kappaZ(t) - \kappaS(t))}{\sigmaZ(t) - \sigmaS(t)},
\]

其中$\lambda(t)$为跳跃强度（跳跃风险补偿项），为LR框架在跳跃环境的推广公式。

• Lindquist–Rachev偏积分微分方程（LR-PIDE）推导：

- 融入跳跃算子的欧式期权定价PIDE，包含资产对时间和空间的偏导数、协方差项和跳跃积分项。
- 影子短利率$\bar{r}(t)$ 统一控制贴现与漂移项。
- 边界条件与终端条件要求保持与传统BS模型类似的形式但具有多资产和跳跃扩展。

这一节精细展现了从资产价格动态到风险中性转变，再到期权定价偏积分微分方程的完整逻辑结构，匹配理论市场完备与无套利原则。[page::3,4,5,6]

---

2.3 Feynman–Kac表示与特征函数方法（第7-11页）

• Feynman–Kac解表示：

- 期权价格表达为影子利率贴现下的风险中性期望，且期权价格满足LR-PIDE。

• 价格标的与维度简化：

- 若期权为单一资产标的，定价可降为单维问题。
- 若为资产组合或跨资产期权，则需处理二维或更高维度的风险因素，难度增大，需数值方法。

• 特征函数表达：

- 利用Lévy过程性质，推导资产的联合特征函数，包含布朗运动和跳跃两个分量。
- 明确计算联合特征函数的结构，强调：
- 布朗运动相关度(基线假设完美相关$\rho=1$)
- 跳跃贡献由组合系数与Lévy测度决定
- 特征函数应用于期权定价逆傅里叶变换，Carr–Madan、Heston方法依赖此公式。

• 单资产欧式期权定价公式：

- 给出利用特征函数计算$P1,P2$概率值的积分表达，方便实现FFT数值计算。

• 多资产组合期权的二维逆式变换表达，虽复杂，提供了完全表达框架。

此部分理论严谨完善，清晰展示如何将跳跃驱动的LR框架通过Feynman-Kac与特征函数技术实用化，适应实务定价场景。[page::7,8,9,10,11]

---

2.4 Lévy过程特殊情况详述（第11-14页）

介绍三大经典纯跳跃Lévy过程：

• Normal Inverse Gaussian (NIG)：

- 参数$(\alpha,\beta,\delta,\mu)$，描述厚尾和偏斜。
- 特征函数与指数函子形式明晰，适合捕获中等偏斜与厚尾。

• CGMY过程：

- 四参数模型$(C,G,M,Y)$，涵盖跳跃强度及正负跳指数衰减速率。
- 通过Gamma函数给出特征函数表达。
- 特殊情况含有Variance Gamma，易于调整尾部行为，尤其是$Y$对跳跃小尺度行为影响显著。

• Variance Gamma (VG)：

- 由布朗运动通过Gamma过程时间变化构造，属于CGMY的极限。
- 参数$(\sigma, \nu, \theta)$分别控制波动率、跳跃频率和偏斜。

文中指出CGMY模型由于参数更灵活，拟合能力较强，但引入校准不稳定风险。相比之下NIG参数少更稳健，却可能拟合力稍逊。该节铺垫后续实证中模型校验基础及差异分析。[page::11,12,13,14]

---

2.5 数值解法（第15-17页）

• 5.1 Carr–Madan FFT方法：

- 通过对期权价格对数行权价的傅里叶变换，结合特征函数，利用FFT高效快速整体计算多个行权价的价格。
- 引入阻尼因子$\alpha$提升数值稳定性，转换成适宜逆变换的可积函数。
- 适用于大规模校准，显著提升实务编程运行效率。

• 5.2 COS方法（Fourier-Cosine展开）：

- 利用区间余弦级数展开期权支付函数，结合特征函数计算级数系数。
- 数值收敛速率极快，对单一期权价格计算尤其高效。

• 5.3 方法选择建议： FFT适合大批量价格计算，COS适合精细单笔或中小批次；二者均依赖特征函数，结果一致性检验良好。

数值方法章节集成当前金融衍生品定价的主流数值手段，兼顾精度与运行效率，支撑报告后续大规模实证校准与测试。[page::15,16,17]

---

2.6 校准流程与实践（第18-19页）

• 校准步骤概括（见图1流程图）：

1. 收集市场数据（期权价格，标的资产价格，两资产波动率估计，国债利率作为初始影子利率）。
2. 计算历史波动率$\sigmaS,\sigmaZ$。
3. 采用初始利率设定影子利率$\bar{r}^{(0)}=r{\mathrm{Treasury}}$。
4. 在迭代中最小化拟合误差RMSE，调整Lévy模型参数$\Theta$。
5. 根据最新参数计算风险中性漂移$\muS,\muZ$。
6. 更新影子短利率$\bar{r}^{(k+1)}$，重复直到收敛至指定$\epsilon$。

• RMSE定义清晰，算法1结构明了，体现了实务可操作框架。[page::18,19]

---

2.7 离散时间跳跃二项树模型（第20页）

• 定义无风险利率的“影子”一周期增长率$R{k+1}$。

- 根据无套利条件确定风险中性概率$q{k+1}$，确保折现后的期权价格为马尔可夫鞅。

• 推导递归定价公式，保持$Zk/Sk$为马氏鞅。

- 该离散模型辅助验证连续模型理论完整性及数值实现。[page::20]

---

2.8 实证分析：影子短期利率与市场行为（第20-22页）

• 影子利率动态实测：

- 以标普500与纳斯达克100（SPX–NDX）、比特币与以太坊（BTC–ETH）资产配对为例，2020–2024年数据反映出$\bar{r}(t)$随市场活跃度变化大幅波动。
- 图2展示影子短利率曲线与三个月期美国国库券实际利率对比，明显在2020年疫情危机期间和2021年加密货币热潮中，影子利率分离且幅度显著，表现出比传统利率敏感的流动性和风险信号。

• 套利含义说明：

- 当$\bar{r}(t) > rf(t)$，表明借入无风险资金投资两个资产组合或许存在套利潜力，交易成本是实现限制。

• 模型定价表现： 跳跃模型显著优于Black-Scholes，尤其在隐含波动率微笑和OTM期权定价上表现出色，揭示市场对跳跃风险溢价的合理反映。

- 风险管理启示： 影子短利率作为风险指标，在市场异常波动时提供有价值的提示。

该实证部分增强模型经济学解释能力及应用实用性。[page::20,21]

---

2.9 模型校准结果与讨论（第22-24页）

• 校准结果汇总（表1）：

- Black-Scholes相对RMSE约为11.2%；NIG降至9.5%；CGMY最低为8.9%，明确表明跳跃模型优越性。
- 校准参数表明显著负偏斜，如CGMY中$M>G$，NIG中$\beta<0$，吻合市场对下跌剧烈风险的溢价认知。

• 参数与模型比较：

- CGMY更灵活，好拟合微笑曲率，但存在校准不稳定性（局部极值问题），建议采用分阶段或正则化方法。
- NIG较稳健，参数较少，虽然在极端行权价表现略逊于CGMY。

• 风险中性跳跃强度与市场现象：

- 校准结果显示两模型推断存在无限活跃（infinite activity）小跳跃，这可模拟随机波动率的短期行为。
- 纯跳跃模型难以完美拟合不同期权期限的微笑变化，提示未来模型需结合随机波动率。

• 校准鲁棒性分析：

- CGMY参数对初始值敏感，一定范围内存在参数组合相互替代；NIG参数更稳定一致。
- 风险中性矩度与实物观察存在不完全一致，表明跳跃风险溢价效应。

• 对冲与风险管理讨论： 跳跃存在致使对冲不完全，实际需要更丰富的对冲工具（如OTM期权）配合。

- 模型局限与未来扩展构想：
- 静态参数设定对长期微笑拟合有限，推荐引入时间变化跳跃强度或随机时间变换。
- 实操中如何挑选资产对（如现金与期货）进一步验证影子无风险率概念。
此节综合了理论建模与实证检验的联系，展现理论价值与实际交易策略调整的桥梁。[page::22,23,24]

---

2.10 结论（第24页）

• 创新贡献总结：

- 成功扩展LR框架到纯跳跃Lévy过程，实现无风险资产静态存在假设的替代方案。
- 推导LR-PIDE，理论上等价于Black–Scholes–Merton PDE延伸，但适用于更贴近现实的跳跃市场。
- 利用数学工具（Fourier transform、特征函数、数值方法）获得欧式期权半解析解。
- 实证显示跳跃模型（NIG, CGMY）显著提升期权定价精确度，且影子短期利率能有效反映流动性风险。

• 局限性与未来发展方向： 需要考虑动态对冲难度、参数时变性及多因素模型扩展。

- 理论与实务结合的意义： 模型填补了无风险资产不可用时期权定价的重要缺口，为实操中估算贴现率与风险溢价提供新思路。

• 总体判定： LR跳跃扩展框架为资产价格跳跃风险的建模和期权定价提供了理论与计算双重支持，具备较大实务应用潜力。[page::24]

---

3. 图表深度解读

图1：校准流程图（第18页）

• 描述：

图示展现校准步骤的流程，包含输入市场数据→估计资产波动率→设定初始影子利率→校准Lévy参数→计算运输漂移→更新影子利率→判断是否收敛→输出最终参数。

• 解读意义：

体现了模型参数标定的迭代自洽过程，确保理论影子利率与市场数据匹配，模型内部保持均衡。

• 与文本联系：

协调数值方法与理论模型推导，使跳跃参数与影子利率动态慧于市场实际，有针对性地调整风险测度与参数。

• 潜在局限：

流程中假定初值（国债利率）的合理性显著，且迭代收敛需要足够稳定优化目标函数。


---

图2：影子风险利率对比（第21页）

• 描述：

展示2020年至2024年期间，用SPX-NDX（蓝线）和BTC-ETH（红线）配对资产计算出的影子无风险利率$\bar{r}(t)$曲线，并与三个月美国国库券利率（绿虚线）对比。

• 趋势：

- 2020年3月疫情冲击期间，影子利率大幅下跌至负区间，表现出避险情绪和流动性收缩。
- 2021年加密货币市场表现热烈时，影子利率急剧飙升反映市场狂热。
- 总体影子利率波动幅度远大于传统国债利率，提供了更多市场风险溢价信息。

• 意义：

图表直观揭示影子利率作为市场风险与资金状况的隐含指标，比传统无风险利率更适合用于衍生品定价及风险管理。

• 联系文本：

支撑影子利率实证章节观点，证实该指标与市场压力和投机态度有显著关联。


---

表1：SPX期权校准结果对比（第22页）

| 模型 | 参数 | 相对RMSE |
|---------------|--------------------------------------|-------------|
| Black-Scholes | $\sigma=0.1579$ | 11.2% |
| NIG | $\alpha=8.214, \beta=-1.235, \delta=0.184$ | 9.5% |
| CGMY | $C=1.128, G=12.347, M=14.562, Y=0.312$ | 8.9% |

• 解读趋势：

与经典Black-Scholes相比，跳跃模型显著降低定价误差，特别是CGMY以其更多调节参数表现最佳。

• 参数含义：

- NIG模型负偏斜指示更重视下跌跳跃风险；
- CGMY极化尾部参数揭示了负跳远高于正跳的市场心理，吻合金融市场普遍的风险偏好。

• 实务建议：

建议在实际期权校准中采用CGMY模型提高对极端风险的捕捉能力，兼顾校准稳定性引入正则化。

• 数据来源及限制性：

该结果依赖标普500期权单一到期日校准，模型泛化能力需进一步考证。

---

4. 估值分析

LR-PIDE的估值方法综述：

• 估值方法建立于构造的风险中性测度$\mathbb{Q}$及影子短利率$\bar{r}(t)$之上，无需传统风险无风险资产。

- 利用偏积分微分方程（LR-PIDE）解决期权定价问题，同时辅以Feynman–Kac形式的期望表达，确保交易价格的无套利定价。

• 跳跃过程特征函数在数值方法中作为核心，通过Carr-Madan FFT与COS两大数值工具实现快速估值，支持大量期权价格同时生成和模型参数校准。

估值隐含假设为市场完备（或通过选择合适的等价鞅测度获得唯一定价），跳跃风险与扩散风险的组合控制资产收益的风险结构。[page::6,7,9,15,16,18]

---

5. 风险因素评估

报告识别的主要风险因素包括：

• 跳跃风险：

由共同跳跃Lévy过程驱动，影响资产价格剧烈跳变，普通对冲手段难以完全消除，特别当资产跳跃幅度比例接近时，风险不可对冲。

• 市场不完全性：

跳跃的突然性限制了动态对冲策略的实施，完美复制可能不可行，需要选用合适风险中性测度进行唯一定价。

• 参数估计不确定性：

特别是在CGMY模型参数校准中存在局部最优解及参数间权衡，可能造成模型过拟合或欠拟合。

• 模型静态假设风险：

假定跳跃参数固定不变无法精确捕捉期权隐含波动率随着期限变化的结构，需扩展动态跳跃或随机时变模型。

• 对冲风险：

跳跃导致非完全对冲，残余风险需要额外金融工具（如期权）辅助管理。

报告未明确提出直接缓解措施，但指出通过丰富资产组合、模型正则化、多阶段校准、引入随机时间变化等方式为潜在对策。风险与定价模型的连结，是分析、定价和风险管理的基础。[page::4,9,22,23]

---

6. 批判性视角与细微差别

• 模型假设的理想化：

- 两资产仅由单一跳跃驱动和布朗运动驱动，现实多资产和多因素场景更复杂。
- 影子利率$\bar{r}(t)$推导基于漂移和波动率恰当估计，误差敏感度需谨慎对待。

• 校准参数敏感性：

- CGMY模型参数多，初始值选择和校准算法复杂，易陷局部最优与不稳定。
- NIG参数少校准稳健，但牺牲一定拟合精度。

• 对市场状态的反应滞后可能性：

- 影子利率虽能反映流动性风险，但离散时间尺度及数据滞后影响准确性。

• 未涵盖随机波动率等扩展：

- 跳跃模型虽捕捉厚尾和偏斜，单纯静态跳跃模型难以覆盖所有风险动态。

• 数值实现复杂度与成本：

- 多维傅里叶逆变等计算强度高，实务应用时需平衡速度和精度。

以上批判基于报告中表述线索，语言谨慎客观，符合学术分析标准。[page::22,23,24]

---

7. 结论性综合

本文在无风险资产不可交易的环境下，成功构建了一个跳跃驱动的多资产LR期权定价框架，突破传统必须依赖风险无风险资产的定价模型限制。通过引入共同跳跃Lévy过程（以NIG和CGMY为代表），将动态跳跃风险纳入两个资产的定价结构，并定义影子短利率统一标价驱动。主要发现和贡献包括：

• 理论贡献：

- 推导了适用于带跳跃资产的LR-PIDE扩展，结合Itô–Lévy微积分理论，形成闭合的欧式期权价格动力学方程。
- 明确了影子利率的数学表达式及其经济含义，连接漂移率、波动率和跳跃强度。

• 数值方法：

- 构建了基于特征函数的FFT和COS数值工具，极大提高了计算效率，支持快速且广泛的参数校验和市场拟合工作。

• 实证表现：

- 实证证明跳跃模型显著优于经典Black-Scholes，成功还原市场隐含波动率曲面中的厚尾和偏斜特征。
- 影子利率与流动性危机时段强关联，捕捉传统美债利率未能体现的风险信息，具有市场微结构洞察价值。

• 局限与展望：

- 静态跳跃模型难以完整刻画隐含波动率期限结构和动态对冲现实，未来可结合随机波动率、多期跳跃和资产更多维动态。
- 影子利率的实证捕捉依赖资产的正确选择与高频数据支持，需进一步验证其稳定性和广泛适用性。

综上，本文不仅拓展了无风险资产缺失条件下的期权定价理论，也提供了结合跳跃风险的实务定价与风险管理工具，为金融工程与衍生品市场分析提供了重要参考。

---

参考文献附录

报告引用了包括Black & Scholes (1973), Merton (1976), Barndorff-Nielsen (1998), Carr et al. (2002)、Lindquist & Rachev (2025)等经典文献，理论基础扎实，覆盖现代跳跃过程金融建模主要流派。[page::27,28]

---

总结

本文详尽构建了无风险资产市场中，运用跳跃Lévy过程扩充的两资产LR期权定价框架。通过理论推导、数值实现和市场实证，确认了跳跃风险对期权价格的关键影响及影子利率的内生生成与经济意义。数值方法如FFT与COS成功支撑模型高效校准。实证检验表明跳跃模型（尤其CGMY）在拟合隐含波动率微笑与市场风险特征方面优于传统Black-Scholes，为衍生品风险管理和市场微观结构研究提供了一条富有价值的新途径。

[page::0~26]

报告