• CLMM与传统CFMM对比及其流动性机制 [page::0][page::3][page::7]

- CLMM允许流动性提供者在有限价格区间集中布资，极大提升资本效率，模拟类似限价单簿的流动性分布。
- 传统CFMM采用固定函数绑定流动性，流动性均匀分布，示例为常见的CPMM和G3M。

• 流动性曲线和储备函数的数学表达 [page::7][page::9][page::11]

- 储备函数$x(p)$和$y(p)$通过流动性分布测度和Lebesgue积分刻画，展现为分段的牛市价差期权型函数。
- 对应价格与储备量曲线连续、递减且凸，保障价格冲击的合理增长。

• 真实世界和模拟的流动性分布样例 [page::12][page::14][page::15][page::16]

- 各类流动性配置示例包括均匀流动性（CPMM）、两个不连贯区间分布及$\chi^2$分布模拟，均用图示表达。
- Uniswap V3实测数据展示流动性高度集中于当前价格附近，动态随时间变化。

• CLMM价格、储备变化与交易费用动态 [page::18][page::19]

- CLMM状态变量$(xt,yt,P_t)$的演化由买入卖出速率和流动性曲线决定，交易费通过费率$(1-\gamma)$积累。
- 价格过程必须为有限变差过程，排除含扩散项的SDE，避免无限手续费产生。

• 三种套利模型及最优策略 [page::19][page::20][page::21][page::22][page::24][page::25][page::26]

- 近视套利模型：套利者即时交易驱动价格维持在费率确定的价差区间，套利库存及手续费过程的变动受价格偏差边界约束。

- 有限期套利控制问题：套利者以控制价格涨跌率最大化在有限时域内的预期利润，考虑流动性平方法则、控制和偏差的二次惩罚，利用HJB方程求解，并给出解析最优控制。
- 无限期折扣套利及遍历套利模型：扩展控制问题至无限时域，引入折扣率，最终导出最优策略为均值回复型（Ornstein-Uhlenbeck过程），明确了价格走势的均值回复趋势。
- 关键模型参数包括流动性系数$K$，控制惩罚$\lambda$，偏差惩罚$\tau$，折扣率$\rho$，波动率$\sigma$和漂移$\mu$。

• 资金损失与套利收益关系解析 [page::5][page::6][page::15]

- 无论模型如何复杂，套利收益（ARB）与LP因价格波动产生的损失（如损失对再平衡LVR）密切相关，手续费限制价格过程拓展，套利者利润部分来源于费用结构。

• 研究结论及未来方向 [page::27]

- 研究填补了CLMM连续时间数学模型的空白，结合测度值动态、套利者最优行为提供完整理论体系。
- 未来将考虑交易费及成本进一步纳入模型，分析区块链区块生成的离散效应及多参与者交互。

一份极其详尽且全面的金融数学研究报告分析

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1. 元数据与报告概览

报告标题

《A Mathematical Framework for Modelling CLMM Dynamics in Continuous Time》（《集中流动性做市商（CLMM）连续时间动力学的数学框架》）

作者及出版机构

• 作者：Shen-Ning Tung 和 Tai-Ho Wang

- 机构：分别来自台湾国立清华大学数学系及美国纽约市立大学Baruch学院数学系，以及日本立命馆大学数学系

报告发布时间

报告内部引用的最新参考文献时间至2024年，具体完成时间未明确，但至少截至2024年6月以后。

研究主题

本报告针对去中心化金融（DeFi）中尤为关键的自动做市商（AMM）的一个新颖变种——集中流动性做市商（Concentrated Liquidity Market Makers，简称CLMM），提出了一个完善的连续时间数学模型框架，分析了CLMM的流动性动态、交易费用对价格过程的限制，以及套利者行为模型。

核心论点及作者旨意

本报告的核心在于搭建一个通过测度值过程（measure-valued processes）刻画流动性配置动态的连续时间框架，细致探讨三种不同套利模型（近视套利、有限时域优化与贴现和遍历控制的无限时域优化），并针对每种情况推导出闭式最优套利策略。重要发现包括交易费用限制了价格过程形式，禁止价格包含扩散项以避免无限费率产生，提示DeFi市场设计需全方位考虑费用机制和流动性策略。论文强调，CLMM流动性配置机制与传统CFMM的本质不同，市场行为复杂，需要新的数学工具和控制理论支持。

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2. 逐节深度解读

2.1 摘要与引言

• 摘要中明确定义了建模目标与手段：将CLMM流动性剖析为测度值过程，并结合随机控制理论分析套利互动。

- 引言描述了DeFi的创新点，强调CLMM设计如何通过允许流动性集中分布在有限价格区间提高资本效率，同时结合自动做市与传统限价委托簿特性，摆脱CFMM将流动性均匀分布在全价位的不经济性，从而更接近一个动态且资本高效的市场模型。

2.2 相关文献回顾与贡献点（Section 1末部分 & Section 2开始）

• 文献中已有研究多聚焦CLMM不同方面，如风险建模[HSW23]、流动性收益计算[EGM23]，以及适用模型深化[MMRZ22a/22b/23a]。

- 本文突破点是提出统一的、基于测度论的连续时间建模方法，全面定义CLMM流动性剖面及其动态，首次在连续时间框架下严格约束价格过程性质。

• 另重点研究不同时间视角中的套利行为，得到闭式解订立完善套利决策理论。

3. AMM基础回顾（Section 2）

3.1 CFMM机制与价格形成

• 给出CFMM的数学表达$f(x,y)=\ell$，定义储备资产$x,y$和流动性$\ell$。

- 交易需满足函数不变原则，即$f(x+\Delta x,y+\Delta y)=f(x,y)$。

• 要求交易函数满足单调性与凸性，保障价格影响随交易量递增。

- 价格由偏导数构成，即$P = \frac{fx}{fy}$，展示瞬时价格的微分含义和价格影响的计算。

3.2 交易费用机制与买卖价差

• 交易费$\gamma$介入机制修正后，买卖价格形成微小价差，明确买单和卖单交易费的调整方式。

- 费用机制导致买卖价差公式$P{bid} = \gamma^{-1} P$和$P{ask} = \gamma P$，价差为$(\gamma^{-1}-\gamma) P$。

• 交易费用积累的公式给出，体现手续费持续增厚LP收益及套利复杂度。

3.3 示例与风险分析

• 结合G3M模型（带参数$w$）。

- 举例CPMM为特殊G3M，等权重$w=0.5$。

• 对LP的主要风险进行数学刻画，特别是无常亏损（Impermanent Loss, IL）及动态对冲损失（Loss-versus-Rebalancing, LVR），通过Itô计算明确两者的形成机制和对LP收益的影响。

- IL定义为持有资产价值与流动性池持仓价值之差，基于价格的鞅假设，阐述IL一般为非负，说明LP平均看输给直接持有。

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4. CLMM设计详解（Section 3）

4.1 结构与机制（3.1）

• CLMM LP的基本单位定义为$(\ell, [pl, pu])$，即在有限价格区间$[pl, pu]$内集中提供流动性。

- 根据当前价格$P$所在区间决定LP需存入什么资产和数量，储备函数具备分段取整性。

• 给出CLMM的绑定曲线($bonding~curve$)，相较于CPMM，绑定曲线会在某些轴相交，意味着LCM为区间提供有限流动性，外区流动性为零。

- CLMM的“期权化”视角：LP期权类似（牛市价差），LP价值函数形似卖出覆盖看涨期权组合。展示此处与传统金融产品的类比。

4.2 流动性剖面（Liquidity Profile）（3.2）

• 引入流动性剖面$\ell(P)$定义，作为价格空间上的流动性分布的测度值函数。

- 通过变换变量和勒贝格积分，关联储备函数和流动性剖面。

• 给出储备函数对应积分公式表明资本如何在价格轴线上分配。

- 证明储备量函数递减且凸，保持价格影响随交易量凸增特性。

• 阐释均匀流动性（如Uniswap V2）的常见案例，曲线及储备量的形态。

- 举出非均匀（两笔独立流动性集中位置、连续$\chi^2$分布等）例子，展示实际流动性可高度集中于某一价位。

• 通过实证图展示Uniswap V3流动性剖面的时变和集中现象，描绘实际DeFi交易所中流动性分布特征。

4.3 IL及LVR与时间动态

• 基于静态流动性剖面，推导流动性池价值随价格变化的Itô动态，展示LVR为价格二次变差乘以当前流动性的函数。

- 扩展到时变流动性剖面，展示其对储备和价格动态的影响，强调价格作为储备曲线斜率的本质不随时间变化，即某一价位的定价动态不被时间直接影响，而是流动性动态间接影响。

• 提出时间演化模型候选，如随机偏微分方程，用以描述流动性集中和迁移。

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5. 价格过程与套利模型（Section 4）

5.1 连续交易框架

• 订立概率空间，对买入和卖出资产速率分别定义动态过程，构成订单流。

- 对储备和价格执行导数运算，显示订单流对价格和储备的驱动方程。

• 费用流动追踪，表述手续费累积作为流量函数。

5.2 套利模型构筑

• 假设价格具有有限变差，故排除含扩散项的SDE，兼顾手续费限制。

- 引入外源资产价格$St$模型（GBM），定义与CLMM价格$Pt$的偏离度$Zt = \ln St - \ln Pt$。

• 将套利控制$ut$定义为动作调整价格对数的速率。

5.3 近视套利模型

• 套利者即刻交易，利用任何价差套利，$Zt$在阈界$[-\ln\gamma, \ln\gamma]$约束内反射，对应买卖限价差。

- 明确套利库存和费流水平随$Zt$边界反射行为变化。

• 指出手续费下，价格过程无二次变差成分，套利利润对应零，触发模型局限性提示。

5.4 有限时域套利最优控制

• 定义控制过程空间和目标，即最大化有限时段内利润，含无成本假设。

- 利用流动性与价格的平方规则和二次控制、偏离度惩罚启发式简化优化目标。

• 通过HJB方程求解控制函数，得出三阶ODE组，获得闭式解清晰描述套利者动态行为。

- 讨论$\lambda\to0$下凸显近似“急促交易”偏好，解释近视套利的极限行为。

5.5 无限时域贴现套利

• 添加折现因子$\rho$，提高长期套利收益计算合理性。

- 给出对应HJB的代数方程，求解得到恒定系数代数方程，形成闭式函数解及最优控制。

• 说明最优控制使误差过程$Zt$遵循一个均值回复的Ornstein-Uhlenbeck过程。

5.6 遍历套利模型

• 长期平均收益最大化，作为贴现率趋于零和有限时域趋无穷的极限。

- 证明极限存在，且收益值函数为价格波动参数、误差罚项等参数函数的明确表达式。

• 给出对应最优控制反馈函数与稳定均值回复过程，封装套利策略的持续均衡行为。

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3. 图表深度解读

图1 (page 5): G3M绑定曲线

• 描绘$w=0.3, 0.5, 0.7$三种权重下资产组合储备曲线，呈现不同权重如何形状对曲线产生重大影响。

- 随$w$增大，资产$X$占比提高，$x$-轴与$y$-轴组合资产比例反映平衡变化。

• 该图直观说明G3M内资产比例权重对市场微结构的影响。

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图2 (page 8): CLMM绑定曲线示例

• 比较传统CPMM（蓝线，$xy=L^2$）与CLMM的局部绑定曲线（橘线），参数$L=10, pl=0.4, pu=2.5$。

- CLMM曲线在横纵轴相交，展示流动性限制在有限价格区间内，且价格超出区间将无交换可能。

• 红色虚线辅助展示两个曲线的差异边界和区间范围，说明集中流动性如何直接影响定价结构。

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图3 (page 10): LP价值及覆盖看涨期权对比

• 曲线描绘LP价值函数与对应卖出看涨期权价值的对比，设$L=1, pl=0.5, p_u=2$。

- 期权价值曲线形似价差组合结构，LP价值紧贴但略低于期权，体现费用及市场条件差异。

• 显示CLMM流动性提供在金融衍生品框架下的等价解释，帮助理解LP权益的风险收益结构。

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图4 (page 12): Uniswap V2恒定流动性剖面

• 四个子图分别展示恒定流动性剖面、储备函数曲线（$x$和$y$对$P$的关系）等。

- 流动性曲线呈水平线，代表价格区间上流动性均匀分布。

• 储备曲线展示典型CPMM储备递减和递增特性。

- 反映传统CFMM设计的经典行为模式。



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图5 (page 14): 两笔集中流动性位置剖面

• 展示分布在不同价格区间的两笔独立流动性位置对整体流动性剖面和储备量的影响。

- 流动性剖面呈现阶梯状，储备随价格变化出现分段行为。

• 体现真实市场中多LP策略叠加的复杂性。

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图6 (page 15): $\chi^2$分布的连续流动性剖面

• 通过$\chi^2$分布模拟流动性非均匀、连续分布的复杂情形。

- 流动性曲线带有峰值和长尾，储备曲线对应平滑递减/递增。

• 数值模拟彰显模型处理非简单流动性结构时的表达力。

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图7 (page 16): Uniswap V3实证流动性剖面演变

• 3D图示时间、tick（离散价位）和流动性（对数刻度）的三维演化。

- 四张2D图展示不同时点的流动性分布，呈现流动性集中的峰态形态。

• 该实证图说明LP积极调整策略，时刻再配置流动性，响应市场动态。

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4. 估值与套利策略分析

4.1 估值框架结合随机控制理论

• 利用测度价值过程将流动性作为状态变量引入，结合资产价格为动态变量，建立动态优化问题。

- 套利者策略被建模为控制价格动态的可适应过程，通过最优化问题求解最优套利率。

• 采用Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)方程和动态规划方法求解控制问题。

4.2 近视套利模型（Myopic Arbitrage）

• 套利者快速反应，价格被限定在手续费带宽内形成反射格局。

- 套利收益驱动套利位置变化和手续费积累过程，保证市场界限内价格保持。

• 但是该模型忽视了交易费用导致的价格过程限制，表现为价格无扩散，从而问题模型简化不再适用实际市场。

4.3 有限时域套利优化

• 单个套利者以最大化有限时段内套利收益为目标。

- 引入正则项控制价格的变化速率，防止极端交易，体现现实中成本和策略约束。

• 由于整体模型服从随机扰动，求解HJB方程获得显式时间依赖最优策略及价值函数，部分情况下显示“Bang-Bang”行为，即迅速校正价格差异。

4.4 无限时域贴现套利

• 将收益函数用指数折现，适用长期策略。

- 求解对应代数HJB方程，取得稳态策略和价值，指出价格过程近似均值回复的OU过程。

• 反映现实套利行为中既追踪价格差异又受成本、风险限制而避免过度交易。

4.5 遍历套利模型

• 最大化长期平均收益，消除折现因素，代表长期套利持续均衡状态。

- 通过极限过程分析，明确最优策略和收益表达式。

• 验证最优套利使价格误差跟随OU过程，实现市场价格的自然均值回复和平衡。

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5. 风险因素评估

• 无常亏损风险：LPs面临价格波动导致的资金损失，特别是价格高波动时的LVR表现为非负漂移。

- 套利风险：套利者利用价差剥削LP，LP因此承担单位时间内价格变化带来的资金流失。

• 费用设计风险：交易费用虽奖励LP，但同时约束价格过程，过高费用导致价格过程失去连续的扩散性质，降低市场活跃度与效率。

- 模型假设风险：如价格连续性、有限变差假设以及市场价格外生等，均可能与真实市场环境不符。

• 时间离散风险：虽然本报告采用连续时间框架，实际链上交易为离散区块时间，存在时间不连续性对模型近似的影响。

报告未显著给出风险缓解策略，提示未来工作需结合交易成本和离散性，引入更复杂的市场微观结构。

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6. 批判性视角与细微差别

• 报告提出的“有限变差”价格假设严格排除了传统含扩散项的布朗运动价格，符合具体费用限制，但偏离传统金融价格模型，此特定假设或限制了模型的普适性。

- 近视套利模型中费用为零时无扩散，费用存在则实际套利收益为零，显示纯粹近视套利模型过于简化。

• “平方规则”假设流动性与价格关系固定，简化技术分析，但可能忽视真实市场中流动性调整的复杂行为。

- 时间不变案例占主导，动态流动性调整讨论有限，实际上LP活跃调整持仓是现实主流。

• 报告围绕对冲与套利收益深入展开，欠缺对LP主动策略优化、动态手续费模型、市场冲击成本等拓展视角的讨论。

- 报告利用了强大的测度理论和随机控制工具，但对非连续价格变化、极端市场事件等可能的现实冲击模拟较少。

• 模型中外生价格假设限制套利及市场反馈的交互动态，真实市场中中介和反应复杂可能相互影响价格形成。

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7. 结论性综合

本报告构建了一个涵盖CLMM流动性动态的连续时间数学框架，基于测度值过程捕捉流动性分布，精确建立储备与价格的解析表达及其微分演变关系。通过一系列套利模型，分别为近视、有限时域及无限时域（包括贴现与遍历控制）问题，利用随机控制及HJB方程推导出闭式最优套利策略，展示了套利者如何驱动价格向真实价值回归的过程。显著的理论发现有：

• 交易费用存在导致价格过程需为有限变差，无法包含扩散项，这与传统含Brownian扩散价格模型有本质区别，对DeFi模型设计有深远影响。

- CLMM流动性配置机制可被解释为覆盖看涨期权组合，反映现实中LP承担与期权类似的风险和收益结构。

• 套利策略的均值回复特性体现了市场的调节机制，建议交易费设计需平衡资本效率及市场活跃度，避免过度阻碍价格波动。

- 实证数据符合集中流动性高度集中的市场现实，公司策略与数学模型具备高度契合。

• 风险体现在价格变动引发的非对冲损失及套利者利用流动性结构的不对称性，指导协议设计优化激励与风险控制。

整体来看，报告为深入理解集中流动性AMM提供了坚实的理论支撑和实证依据，丰富了DeFi领域的金融数学工具箱，并指出未来工作方向应侧重加入交易费用与成本、非连续交易时序、复杂多主体互动等现实因素，提升模型完整性和适用性。

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结语

本报告不仅在理论层面具备较高创新度和严谨度，且紧密结合实际DeFi市场机制，结合数学、概率和金融工程先进工具，提供了立足现实的、可操作的CLMM市场分析框架。尤其对于设计完善的流动性激励机制、套利策略优化和价格过程建模有极高参考价值。未来伴随更多复杂机制和实际环境因素的纳入，类似研究势必推动DeFi市场更加成熟、稳定与高效。

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（注：本分析引用页码见各段落尾，确保对原文结论和推断追踪溯源，如需文本重组请提示。）

报告