• 离散Markowitz组合优化问题定义及难点 [page::0][page::1]：

- 传统Markowitz组合理论假设股票可分割买卖，实际操作受限于整数股数及有限投资预算。
- 离散Markowitz组合理论（DMPT）是NP难题，组合数量随着资产数和股票数阶乘增长，无法用经典逐一枚举求解。
- 现代量子计算硬件（量子退火器）可解决DMPT对应的Ising模型，具备潜在量子优势。

• 离散与连续Markowitz组合理论的关系与风险厌恶参数重标定 [page::2][page::3]：

- 离散组合相对权重向连续解收敛需调整风险厌恶参数$\phid=\phic/N_{\mathrm{tot}}$。
- 若不重标定，离散解收敛为最小方差组合，非期望最优组合。
- 图1显示无重标定下两者差异不收敛，重标定后差异趋近零，验证了理论关系。

• 预算限制下离散组合优化的优势及与四舍五入方法的对比 [page::4][page::5]：

- 引入投资预算约束，并在不同预算及总股数下求解最优离散组合。
- 传统先计算连续权重后四舍五入的方案，在有限预算条件下产生显著离散系统偏差，组合表现次优。
- 离散方案的组合严格满足预算约束，处于有效前沿，表现显著优于四舍五入方案。

• 基于Wasserstein距离的ESG评分投资组合分类与约束方法 [page::6][page::7]：

- 采用Wasserstein $p$-距离量化投资组合与最佳ESG组合的距离，实现对组合ESG表现的泛化度量。
- 将ESG距离定义为约束条件线性加入离散Markowitz问题，允许调节投资组合ESG友好度上限。
- ESG距离为0时仅允许最佳ESG股票，较大距离则无约束。

• ESG约束对组合结构及风险收益影响分析 [page::7][page::8]：

- ESG距离约束逐渐收紧时，组合中高ESG评分股票比重提升，差ESG股票剔除。
- 投资组合回报-波动率空间中，随ESG约束加强，组合离有效前沿略偏离，反映ESG与财务指标间权衡。
- 表格展示不同ESG距离对应的组合股票数及预算投入变化。

| 最大ESG距离 D | 股票总数 Ntot | 投资预算利用率 (€) |
|-------------|------------|------------|
| 1.6 | 960 | 99999.56 |
| 1.5 | 1112 | 99998.61 |
| 1.4 | 1202 | 99994.84 |
| 1.3 | 1305 | (数据缺失) |

• 量子退火器与经典算法优势对比及应用前景 [page::2][page::8][page::9][page::10]：

- 离散Markowitz问题难以用经典枚举法求解，量子退火器对整数二次优化的解决能力使得该问题具有实际可行性。
- 量子计算与经典计算结合的混合工作流是当前研究趋势。
- ESG纳入投资组合的有效约束，不改变效用函数，简化多目标优化的复杂度，为ESG投资者提供量化工具。

• 主要结论总结 [page::10]：

- DMPT离散优化在有限预算与整数约束情景表现优于传统连续四舍五入方法。
- Wasserstein距离是统一且通用的ESG组合分类与约束指标。
- 该框架适用于多种ESG评分体系，能灵活调整ESG偏好强度。
- 研究为ESG投资组合设计与量子金融算法的未来研发指明方向。

金融研究报告详尽分析报告

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1. 元数据与概览

本文报告题为《Quantum computing approach to realistic ESG-friendly stock portfolios》（现实可行的ESG友好型股票组合的量子计算方法），由Francesco Catalano、Laura Nasello（均来自德意志交易所，Frankfurt）和Daniel Guterding（Technische Hochschule Brandenburg）于2024年4月4日发布。报告聚焦于使用量子计算方法解决股票组合优化问题，尤其是面向具有环境、社会及公司治理（ESG）因素约束的组合构建。核心议题涵盖：

• 传统马科维茨投资组合理论（MPT）与其离散版本（DMPT）的对比及难点；

- 利用量子退火机（quantum annealer）解决DMPT的可行性；

• 将ESG评级纳入投资组合优化框架，提出结合风险、回报及ESG的综合效用函数；

- 现实投资预算约束下，离散优化相较于传统近似（四舍五入等）方法的优势。

作者通过实证分析，特别是基于欧洲蓝筹股指数EURO STOXX 50的数据，展示了离散马科维茨模型在包含ESG因素、有限预算等现实约束下的有效表现，并且通过量子计算具备实际应用潜力。报告结论强调，基于量子计算硬件的离散优化能显著提升小至中等规模投资组合的性能，且引入基于Wasserstein距离的新颖ESG评分整合框架，为ESG意识投资者提供有效决策支持。

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2. 逐节深度解读

2.1 引言部分及问题框架

本节对经典马科维茨投资组合模型进行了数学表述，强调优化目标为最小化凸型效用函数：\[ Qc(\vec{r},\Sigma,\phi) = \frac{\phi}{2} \vec{x}^T \Sigma \vec{x} - \vec{r}^T \vec{x} \]。其中，\(\phi\) 控制风险厌恶程度，\(\vec{r}\)为资产预期收益率，\(\Sigma\)为资产协方差矩阵。优化要求投资权重非负且归一，形成长仓组合。

作者指出，传统连续模型假设可以按任意份额购买资产，实务中存在证券只能整数股买卖和预算有限的问题，这导致理论最优权重需要经过四舍五入等近似，表现较差（尤其在小资金量组合中）。而离散版本DMPT需考虑整数权重，形式为NP难题，计算量随资产和股数指数级增长，难以用经典算法全局求解。

文章进一步说明，鉴于量子计算机特别是量子退火机在解决某类组合优化问题上展现潜力，DMPT问题可转化为Ising模型后的量子求解具前景。同时关注到ESG投资需求日益增长，报道探讨如何将ESG约束系统性地纳入马科维茨框架。

最后，作者清晰列出了全论文架构和章节主题，体现严谨且条理清晰的研究设计。[page::0,1]

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2.2 章节II A：离散马科维茨理论与风险厌恶参数作用

本节数学地描述了DMPT，将权重向量限制为整数，且总股数固定约束：

\[
\sum{i=1}^k xi = N{\mathrm{tot}}, \quad xi \in \mathbb{N}
\]

而目标函数形态与连续相同。作者重点考虑连续解与离散解在归一化处理（以总股票数作为分母）后的距离度量，预期离散优化随着股数增大应趋近连续最优解。然而实证结果发现，若风险厌恶参数\(\phi\)不做调整，距离无法收敛至0，且随着组合规模增大，离散解会偏向极端的最小方差组合，而非期望的连续解。

关键突破在于公式（11）风险厌恶参数需做规模归一化转换：

\[
\phid = \frac{\phic}{N{\mathrm{tot}}}
\]

调整后，两种解的差异逐渐接近零，验证了离散模型与连续模型间的收敛关系。底层逻辑是，离散权重的整数性质导致协方差项二次型表现按\(N{\mathrm{tot}}^2\)缩放，风险惩罚权重因此需对应调整。

此外，本节详解了量子退火机的适用性和技术实现细节，强调D-Wave系统采用Ising模型物理实现，二进制编码以及软件处理约束的方法，符合该投资组合问题的数学特性。

图1(a)与1(b)对比了不同参数设置下连续与离散最优解的欧式距离，形象展示了归一化调整的必要性及只考虑协方差项时两方解的迫近。图2则以波动率-收益空间直观描绘了未归一化风险参数的离散解趋势，逐步退化为最小方差投资组合。

结论是：忽视风险参数的规模效应，会导致离散组合偏离期望的连续优化结果，必须严格处理此归一化以确保离散模型的合理性。该基础理论为后续加入预算和ESG约束奠定数学基础。[page::2,3,4]

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2.3 章节II B：有限投资预算下的离散优化

本节将前述离散模型的总股数约束转换为实际投资预算约束，即：

\[
\vec{p}^T \vec{x} \leq B
\]

其中\(\vec{p}\)为股票单价向量，\(B\)为投资者可支配的资金总额。这个设定更符合实际情景，因投资者受限于资金量，不是单纯限制持股数，而是在预算内优化资产买入组合。

为了数值解的可靠，作者提出通过先从较小\(N{\mathrm{tot}}\)试探开始，逐渐增大，寻找最接近预算的组合方案。该策略兼顾实现难度与预算精度。

同时，作者对比了本离散方法和传统基于连续组合权重四舍五入的离散组合。公式（14）给出了四舍五入策略：

\[
(\vec{x}{c,r})i = \left\lfloor \frac{B \cdot (\vec{x}c)i}{pi} \right\rceil
\]

实证案例采用有限资产池（宝马、德邮、德电、英飞凌四只股票）、预算10万欧元、风险厌恶参数8。图3展示了两种策略下的股票数和资金分布差异，离散方案较为集中，而四舍五入策略更为分散，因后者对低价股覆盖更大股数，且可能违背预算限制。

图4显示两者在收益-波动空间的位置，离散方案位于高效前沿，反映其实际优化效果优越。而四舍五入组合则离有效率明显较远，收益负面影响达近2个百分点，非对称的损失远超预期。

此结果揭示四舍五入等传统做法在有限预算与整数限制下存在实质缺陷，对于实际投资管理具有重要现实意义。离散优化借助量子退火表现出显著优势，尤为适合中小资金规模及有限股票池场景。

综上，本节验证了离散优化结合预算约束的现实可行性与实用价值，为后续加入ESG约束提供了数值基础保障。[page::4,5]

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2.4 章节II C：ESG数据纳入及组合分类新框架

在明确离散、多维约束框架后，作者引入了ESG因素，回答两大问题：

• 如何以定量指标对投资组合ESG表现进行分类；

- 如何将该信息系统性地整合进入组合优化。

当前文献采用的主流方法通常是将预期ESG评分作为约束或者通过线性转换混入预期回报向量，均存在单位不兼容或多目标难以均衡问题。为此，作者提出一种创新方案：基于Wasserstein距离（地球搬运距离），将组合在ESG空间中相对于最优ESG组合的位置作为新的量度。

公式（15）定义了组合的ESG距离：

\[
D{ESG}(p, \vec{\pi}) = \left[\sumi \pii \cdot |S^+ - \tilde{S}i|^p \right]^{1/p}
\]

其中，\(\vec{\pi}\)为组合的相对权重（概率分布），\(S^+\)和\(S^-\)分别为ESG评分体系中的最好和最差评分，\(\tilde{S}i\)为第i资产ESG分数。此度量满足：

• 所有资产均为最好ESG时，距离为0；

- 均为最差时，距离为最大值 \(|S^+-S^-|\)；

• 结合权重体现综合ESG表现。

此度量推广了简单加权均值（对应p=1），具有尺度无关性并且可扩展到多异构评分体系（见公式（16））。更为重要的是，距离基于相对ESG评分，不依赖融资规模或回报单位，有效避免了传统ESG-收益互换单位问题。

此度量可直接套用在离散权重向量上（公式（17）），结合之前定义的风险-回报效用函数，新增约束：

\[
D{ESG}(p, \vec{x}) \leq D
\]

其中，\(D\)控制容忍的ESG距离上限。该约束窗口实际定义了可接受的ESG“多样性”，从0（仅含最佳ESG资产）到最大值（ ESG无约束）。

通过调整\(D\)，投资者可按照自身偏好平衡收益风险与ESG标准。

报告实例方面，采用德电、SAP、意大利联合圣保罗银行、EssilorLuxottica四只标的，ESG评级由ISS ESG提供，打分区间为1至4，4为最高。预算同样为10万欧元，风险厌恶参数设为8。

图5呈现不同\(D\)值下组合在波动率-收益空间的变化，越是严格限制ESG约束，组合越偏离传统的效率前沿，体现了这三者间的权衡。

图6展示了对应的具体组合结构，随着ESG距离上限降低，组合对高ESG评分股票（如德电、SAP）配置比例逐渐增加，低ESG评分股票被逐步剔除（如意大利银行），符合预期。

表格I补充了不同\(D\)约束下持股数和资金分布的具体数据，验证预算被充分利用，且调整灵活。

整体来看，作者提出的基于Wasserstein距离的ESG约束框架具备数学严密性及高度灵活性，能够兼容各种ESG数据体系，同时兼容不同规模和类别的离散优化方法。这一创新为ESG投资提供了精细、可控的量化工具。[page::6,7,8]

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2.5 章节III 讨论

本节回顾了现有ESG投资绩效的学术研究，作者明确区分了本文基于历史数据与均值-方差框架的优化方法，与多基准回归、筛选法等其他文献在方法论和结论上的差异。报告引用多个研究（包括Cesarone等、Auer和Schuhmacher、García等、Breedt等）显示，ESG约束通常会引发投资组合的高效边界偏离，但许多ESG友好组合仍有竞争力。

此外，作者强调ESG因素是否能独立预测收益尚无定论，且在市场危机情境下的表现亦复杂多变。报告认为，本文方法不检验ESG投资能否产生超额回报，而是提供工具让投资者可在传统风险-回报权衡中，有意识地引入ESG偏好。

作者展望ESG投资需求的持续增长，期望他们的距离度量为未来研究和实际投资策略设计注入新的量化思路。此外，指出离散组合优化天然契合量子计算的混合计算方案，能够在谱系限制下实现高效求解。

整体讨论理性客观，承认模型限制，强调方法创新及其潜在影响。[page::8]

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2.6 章节IV 结论

本节总结了主要贡献和研究成果：

• 明确了离散版马科维茨模型与传统连续模型的映射关系，特别是风险厌恶参数须按组合规模重新归一化，否则离散解不收敛连续解；

- 论证了有限预算下传统四舍五入策略的缺陷及离散量子优化方法的优势，后者能在收益-波动空间紧贴效率前沿；

• 创新引入Wasserstein距离度量ESG约束，替代传统加权平均，提升灵活性与兼容性；

- 通过实证案例验证，在约束更严的ESG距离限制下，组合自然倾向于高ESG股配置，体现了ESG偏好的量化表达；

• 证明量子退火硬件对求解此类组合优化问题有实际意义，尤其是规模增大、多约束下。

此外，报告指出后续研究方向：多种\(p\)值的影响、异构ESG数据整合、规模更大投资组合的量子算法等。

这些结论清晰传递了本文提出的新理论、新方法和新应用路径，展示了跨学科技术结合解决现实金融问题的潜力。[page::9,10]

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3. 图表深度解读

图1 (第3页)

• 说明：图1分为a) 和 b)，展示连续与离散方案在最优权重上的欧氏距离对投资组合股票数\(N{\mathrm{tot}}\)的依赖。

- 解释：
- 图1a) 蓝色实心圆线代表未做风险参数归一化的“naive”离散方案，距离保持在较大常数不变，说明其未能收敛连续解；
- 橙色方块线为正确按照\(\phid = \phic / N{\mathrm{tot}}\)归一化风险参数后的离散方案，距离随组合规模扩增呈指数级下降，趋近于0；
- 图1b) 仅考虑方差项（无回报项的效用函数）体现了即使未归一化，最小方差组合也具有收敛特征，但离散和连续组合在配置上仍因整数限制存在微小差异。

• 联系文本：此图是验证风险参数规模需调整的关键证据，支撑了理论分析核心结论。[page::3]

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图2 (第4页)

• 说明：展示不同股票数\(N{\mathrm{tot}}\)情况下，naive离散方案在波动率-收益空间的位置，背景为随机组合采样形成的效率前沿（浅蓝色区域）。

- 解释：
- 随着股票数增加（10到1000），离散方案解路径逐渐向最小方差组合靠拢，收益下降，波动率趋于稳定；
- 这说明固定风险参数导致风险惩罚过重，离散组合牺牲收益换取极低波动，避免风险。

• 联系文本：直观表现风险参数未归一化时离散组合的归宿，验证公式(11)调整的必要性。[page::4]

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图3 (第5页)

• 说明：比较在预算约束10万欧元和风险厌恶参数8下，离散与四舍五入连续方案在股票数量（a）和资金分配（b）上的组合差异。

- 解释：
- 在股票数上，离散方案持有较少数量但更集中，而四舍五入方案因低价股大量配置，总股数更多；
- 资金分布显示四舍五入组合资金在低价股上占比显著偏高，而离散组合相对均衡；

• 联系文本：说明四舍五入方法可能违法预算限制，导致实际组合与预期差异较大。[page::5]

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图4 (第5页)

• 说明：两方案组合在收益-波动率空间的具体位置。

- 解释：
- 离散方案点位于效率前沿对应位置；
- 四舍五入方案明显低于前沿，收益损失近2个百分点；

• 联系文本：强化了前述优劣对比，突出了离散优化的实用意义。[page::5]

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图5 (第7页)

• 说明：在含ESG距离约束不同上限\(D\)条件下，组合在收益-波动率空间的位置变化。

- 解释：
- 允许ESG距离最大（如1.6）时，组合接近效率前沿；
- 随着\(D\)减小（约束更严），组合性能逐步远离效率前沿；

• 联系文本：图形直观表达ESG约束引入后投资组合的风险回报权衡被调整，表明实际存在的权衡关系。[page::7]

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图6 (第7页)

• 说明：对应图5中不同ESG距离约束\(D\)，组合对4只股票数量（a）和资金分配（b）的具体配置差异。

- 解释：
- \(D\)减小，配比比例高ESG评分股票（德电、SAP）上升，低ESG股票基本被剔除；
- 投资金额也向高ESG股倾斜，显示ESG偏好有明确的量化调节效果；

• 联系文本：验证了Wasserstein距离约束对组合结构的具体影响机制和实际意义。[page::7]

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4. 估值分析

报告并无典型意义上的估值部分，其“估值”层面相当于投资组合收益、风险及ESG表现三要素权衡和约束，核心集中于效用函数设计和约束体系整合：

• 原效用函数为均值-方差框架，形式为二次型，线性组合风险与收益；

- 离散版本引入整数约束和预算约束，使问题成为复杂的混合整数二次规划（MIQP）；

• ESG约束通过Wasserstein距离定义的线性不等式约束嵌入；

- 优化求解依托量子退火机求解Ising模型形式的目标函数。

此多约束情形下不强调传统估值倍数或现金流折现法，而是基于组合效用函数的优化。

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5. 风险因素评估

报告识别的风险主要隐含于模型假设与实现限制：

• 计算复杂性风险： DMPT定义为NP难问题，传统算法难以保证大规模问题的最优解，虽量子退火机提供突破，但当前硬件和算法尚有规模与效能限制；

- 模型假设风险： 基于历史收益与协方差估计，未考虑模型风险、时变性、市场突变等；

• ESG数据风险： ESG评分来源多样、定标标准不一致，评分方法本身存在不确定性和主观性，跨体系数据兼容挑战；

- 风险厌恶参数敏感度： 组合结果强依赖\(\phi\)参数，若设置偏差，离散与连续模型可能偏离较大；

• 实际交易风险： 离散组合优化在实际市场流动性、交易成本及执行风险未全面建模；

- 量子计算硬件风险： 受限于量子位(qubit)数量与噪声水平，算法加速与稳定性存在不确定性。

报告中虽无专门缓解策略讨论，但明确强调了基于归一化风险参数的理论调整与约束设计，有助于降低部分模型误差。未来需结合动态数据、交易成本以及多期规划进一步完善。

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6. 批判性视角与细微差别

• 报告整体基于严谨的数学推导和实证演示，论证充分，客观性较强；

- ESG评分体系虽新颖，且Wasserstein度量较好解决了评分单位不兼容问题，但对不同评分来源的实操结合仅略有提及，未深入展开多数据融合挑战，存在未来研究空间；

• 离散组合优化依赖风险参数归一化，实际风险厌恶参数如何校准及其对结果影响值得进一步探究；

- 量子计算部分虽点明优越性，但未明确实际量子硬件在大规模现实应用中的具体限制，可能让读者对方法实用性产生过高期待；

• 研究依赖历史数据，未纳入未来不确定性或动态调整机制，体现模型典型的静态假设限制；

- 对交易成本、市场冲击、组合可实现性未充分讨论，实际表现或偏差；

• ESG投资绩效讨论引用众多文献，强调方法论差异，突出本研究贡献，但未系统系统化总结影响因素优劣；

- 图表呈现良好但仅限有限股票池案例，缺乏大规模、多行业验证。

总的来说，报告基于最新量子计算发展提出结合ESG的新优化框架，理论与数值清晰充分，但落地实操仍面临数据、模型、硬件和市场复杂性多重挑战，值得未来细化深化。

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7. 结论性综合

本文以“量子计算推动现实可行的ESG友好型股票组合优化”为核心，创新地将经典马科维茨问题推广至考虑整数买卖限制、有限预算及ESG约束的多维难题，形式化为NP难的离散组合优化问题。针对传统基于连续权重加四舍五入构造组合带来的显著次优表现，作者提出直接在离散解空间内优化，并通过量子退火硬件有效求解，显著提升有限资金规模资产配置的效用边界。

理论上，作者严格推导风险厌恶参数需按组合股数规模递减归一化，校正后离散与连续优化结果可趋同，解决了以往忽略这点导致结果偏差的根本问题。基于D-Wave量子退火机的实际模拟服务于模型验证，显示在现实有限预算及有限资产标的下，离散优化组合在收益-风险空间顯著优越于传统浮点权重四舍五入组合。

引入ESG时，研究采用创新且具广泛适用性的Wasserstein距离度量作为组合ESG满意度的综合指标，使得ESG约束以线性方式融入优化问题。此方法不仅避免了直接将ESG评分混入预期收益引发的度量单位矛盾，也能够量化多维ESG数据异构性。实证案例展示了随着ESG距离约束收紧，组合向高ESG评分股票倾斜、整体风险回报表现逐步下降的权衡轨迹，极大丰富了ESG量化投资决策的工具箱。

图表一系列展示了理论验证、预算约束及ESG纳入对组合结构及风险回报指标的具体影响：图1、图2阐明归一化风险参数对连续离散解距的影响；图3、图4对比有限预算下离散最优解和传统近似方法的明显性能差异；图5和图6结合ESG约束变化，清晰地刻画了ESG投入强度与投资组合效率的折中。

最终，报告强调，量子计算与经典计算的混合式计算架构极具潜力，能够为复杂离散投资组合问题特别是涉及社会责任投资标准的现代金融领域提供真正实用的求解方案。本文工作不仅扩展了马科维茨模型的适用边界，也为ESG投资策略提供了数学严谨且可操作的新范式，助力投资者在日益关注可持续发展的大背景下更科学地权衡风险、回报和社会责任。

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# 综上，本文提供了一套完整的、高度创新的理论模型和实证分析框架，结合前沿量子计算技术破解传统投资组合优化的整数限制难题，并成功融入ESG评价，为未来金融科技与可持续投资交叉领域开拓了新路径，具有显著学术和实践参考价值。[page::0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]

报告