• Gerber-Shiu函数定义及风险模型构建 [page::0][page::1][page::2]：

- 经典的复利复合泊松风险模型中，储备过程包含赔付及利息收益，考虑固定股息障碍时，储备过程被限制于障碍b，超过障碍部分持续支付股息。
- Gerber-Shiu函数定义为折现后的预期惩罚函数，结合了破产时间、破产时的储备值及赔付缺口信息，用于风险和资金流出量化分析。

• 整理Gerber-Shiu函数满足的积分微分方程及边界条件 [page::4][page::5]：

- 推导积分微分方程形式，包含贴现率α、利率r、赔付率λ及赔款分布F。
- 边界导数条件$\Phib'(b)=0$，反映股息障碍处储备不变。
- 无股息障碍极限下的函数表达式及其数学性质阐述。

• 引入深度神经网络（DNN）及PINN方法（图1）[page::6][page::7][page::8]：

- 采用多层前馈神经网络，激活函数选用tanh。
- PINN将目标积分微分方程残差和边界条件残差加入损失函数，利用自动微分计算导数，避免传统数值网格划分，提升求解灵活性。
- 通过随机采样域内与边界残差点进行训练，采用Adam和L-BFGS优化算法拟合目标函数。

• 积分项采用高斯求积数值近似，结合PINN求解改写的微分方程 [page::9]：

- 积分项采用离散加权和近似，方便神经网络求导和参数优化。

• 数值实验设置与结果分析 [page::9][page::10][page::11][page::12][page::13][page::14]：

- 三种赔款分布: 指数、Erlang(2)、组合指数，参数统一设定。
- 计算四类Gerber-Shiu函数：破产概率、破产时间拉普拉斯变换、破产时赔付大小期望、破产赤字期望。
- 20次实验展现算法稳定性（见图2），与经典配点(collocation)法高度吻合。



- Erlang和组合指数赔款密度的结果均表现优秀，估计均值曲线与配点法近乎重合（见图3、图4）。


- 误差分析表明最大相对误差约为$10^{-5}$，精度优良。

• 带固定股息障碍的Gerber-Shiu函数计算[page::11][page::14]：

- 通过设置$\Phib'(b)=0$边界条件，成功应用PINN方法，无需求解初值$\Phi_b(0)$。
- 结果表现与配点法保持一致，验证了算法在更复杂边界条件下的适用性。

• 方法优缺点及未来展望[page::12]：

- 本方法为广泛适用的积分微分方程求解框架，灵活且实现简便。
- 不应视为传统方法替代，积分求积精度对大参数空间计算仍有影响，后续工作将致力于算法优化以提升计算效率和精度。

详尽分析报告：《Computing the Gerber-Shiu function with interest and a constant dividend barrier by physics-informed neural networks》

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1. 元数据与概览

• 标题: Computing the Gerber-Shiu function with interest and a constant dividend barrier by physics-informed neural networks

- 作者: Zan Yu, Lianzeng Zhang

• 机构: 南开大学金融学院，天津，中国

- 主题: 本文聚焦于精算保险领域中特别重要的“Gerber-Shiu”贴现罚函数的计算，特别是在存在利息和固定红利障碍策略的风险模型中。采用了物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks, PINNs）技术来解决相关的积分微分方程，旨在提供一种高效灵活的数值计算方法。

• 核心论点: Gerber-Shiu函数通常满足类型为积分微分方程的复杂关系；传统显式解析或数值方法存在限制，尤其是对一般理赔分布的适用性不强；PINNs技术能够利用深度学习自动微分优势，将微分方程残差融入损失函数，从而更灵活、更高效地求解此类方程，特别是在设置边界条件时表现优越。

- 主要贡献: 提出并实现基于PINNs的算法，展示了其在求解带利息和固定红利障碍的Gerber-Shiu函数中的应用，并通过数值示例验证了该方法的准确性和稳定性。

• 关键词: Gerber-Shiu函数、神经网络、积分微分方程、红利障碍

- 报告组织:
- 第1节介绍背景与模型
- 第2节总结Gerber-Shiu函数的基本性质及其积分微分方程表述
- 第3节阐述PINNs及深度神经网络的技术细节
- 第4节通过数值实例展示PINNs的实际效果
- 第5节总结与未来展望
- 附录提供函数分解与初值计算的详细理论支撑
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2. 逐节深度解读

2.1 摘要与引言（第0-1页）

• 报告开篇指出Gerber-Shiu函数满足一类积分微分方程，传统求解困难，因而引入了PINN方法。PINN通过自动微分将微分方程嵌入神经网络的损失函数，相较传统方法对边界条件处理更灵活且无需依赖初值确定，特别适合计算更广泛的Gerber-Shiu函数。

- 经典复合Poisson风险模型的基础数学描述给出（风险储备过程公式），介绍了理赔数目是泊松过程且理赔率独立同分布。

• 引入利息构成的储备过程定义（含利率$r$和理赔过程的积分形式）。

- 讨论红利支付策略，特别是定值障碍策略。当风险储备达到障碍$b$时，红利连续支付，储备被限制在$b$，直到下一理赔事件发生。

• 该模型的动力学被积分微分方程形式表示，且定义了破产时间$Tb$及其相关指标。

- 综述了Gerber-Shiu函数的定义和实际应用，以及该函数在风险理论中的重要位置。

• 指出现有显式表达仅适用于有限的赔付分布（如指数、Erlang、相位型），对于一般理赔分布显式形式难以获得，少数研究采用数值反演拉普拉斯变换、傅里叶级数截断、基底展开及投影方法。

- 文章由此指出机器学习，特别是PINNs的引入，可为该问题提供新的数值解决方案。

2.2 风险模型与Gerber-Shiu函数预备知识（第2-5页）

• 对带壁垒的复合Poisson风险过程及Gerber-Shiu函数的积分形式和边界条件予以推导。

- 体系化展示该函数满足的积分微分方程：

$$0 = -(\alpha + \lambda) \Phib(u) + \Phi'b(u)(ur + c) + \lambda \int0^u \Phib(u - y) dF(y) + \lambda A(u),$$

其中$A(u)=\intu^{\infty} w(z, y-z) dF(y)$，是积分损失罚函数的项。

• 负边界条件$\Phib'(b)=0$的直观含义说明：在红利障碍点函数的斜率为零，反映储备被锁定的状态。

- 若障碍$b \to \infty$，即无红利障碍，则满足类似积分微分方程的简化形式。

• 指出Lin等人（2003）和Yuen等人（2007）之前研究中提出了基于分解的方法（详见附录A），但对非指数类赔付分布缺乏显式解。

- 本节明确数学框架与边界条件，为PINNs的深度学习求解提供明确的数学模型。

2.3 方法论：深度神经网络与PINN（第6-8页）

• 定义多层前馈深度神经网络（Feed-forward Neural Networks, FNNs），用符号$\mathcal{N}^L(\mathbf{x})$表示，层数$L$，每层节点数$N\ell$，权重矩阵和偏置向量分别为$\mathbf{W}^\ell$和$\mathbf{b}^\ell$，激活函数选用双曲正切函数（tanh）。
• 神经网络体系结构图（图1）示意输入层、若干隐含层及输出层的连接，直观说明网络结构。
• PINNs的核心思想：将我们关心的未知函数$u(\mathbf{x})$用神经网络$\hat{u}(\mathbf{x}; \theta)$近似，$\theta$为训练参数。利用自动微分技术，可以直接计算网络输出关于输入的导数，方便对微分方程算子进行计算。
• 构建损失函数，分别对微分方程残差和边界条件残差的平方和进行加权求和，使得神经网络同时满足微分方程和边界约束。
• 训练时，利用优化算法（Adam与L-BFGS）最小化损失函数，实现神经网络参数的更新，最终得到方程的近似解。
• 对积分项采用传统数值方法（高斯求积），解决PINN难处理积分项的问题，体现算法的混合计算策略。
• 阐明算法易实现且方法通用性强，不依赖具体问题的初始条件，更灵活地处理边界条件。

2.4 数值实验与实证（第9-14页）

• 介绍实验环境及超参数设定（NN层数为4层，激活函数为tanh，损失函数权重均为1，优化器包括L-BFGS）。
• 使用三个不同的理赔分布：

- 指数分布，$f(x)=e^{-x}, x>0$；
- Erlang(2)，$f(x)=4x e^{-2x}$；
- 指数组合分布，$f(x) = 3e^{-1.5x} - 3e^{-3x}$。

• 重点计算四类Gerber-Shiu函数：

- 破产概率；
- 破产时间的拉普拉斯变换；
- 破产时理赔期望大小；
- 破产期望亏损。

• 无红利障碍时结果（Figures 2、3、4）：

- 将PINNs估计结果与经典数值方法（collocation方法）进行对比，多次实验结果显示稳定性好（通过20次实验画出置信带）。
- 几乎难以区分PINN结果和传统数值法计算结果，说明了其高准确性。
- 最大相对误差约$10^{-5}$，表现优良。

• 有红利障碍时结果（Figure 5）：

- 在设定障碍$b=10$，利率$r=0.01$，贴现率$\alpha=0.01$等参数下，计算拉普拉斯变换的破产时间。
- 同样与经典方法对比，PINN表现出优越的拟合效果与计算能力。
- 此时边界条件仅需设定$\Phib'(b)=0$，无需初值$\Phib(0)$，展现出PINN方法的灵活方便。

• 结论强调PINN算法具备通用性和良好稳定性，尤其适合含利率且带红利障碍的复杂Gerber-Shiu函数计算，且编程实现简单。

2.5 估值与算法评价（概率积分变换）

• 虽然报告没有传统金融报告中的估值参数，但用数值方法采用高斯求积对积分项进行逼近，保证计算的数值稳定性与精度。
• PINN将原始积分微分方程转换为可训练神经网络，损失函数中包含微分方程残差与边界条件残差，优化时同时拟合整个函数而非单点估计，具备全局逼近能力。
• 传统方法依赖于初始条件的准确性，PINN突破此限制，以边界条件$\Phib'(b)=0$辅助求解。

2.6 风险因素评估

• 报告指出：

- 数值积分中，高维积分或积分区间过大时计算精度下降是限制之一。
- 神经网络结果依赖于随机种子，虽然进行了多次实验验证稳定性，但随机性本质仍存在。
- 复杂赔付分布的泛化能力和积分近似都会影响最终结果。
- 整体而言，PINN不能完全替代传统数值方法，尤其在计算效率和鲁棒性上仍有提升空间。

2.7 批判性视角与细微差别

• 报告方法对于带积分项的积分微分方程，采取的是混合方法，即微分部分由PINN自动微分，积分部分由高斯求积，这种混合方法可能在积分权重选择上留下性能瓶颈。
• 虽然PINN灵活性强，但具体参数（如网络层数、学习率、损失权重）对训练效果影响较大，报告未详尽探讨这些超参数对结果的敏感度。
• 论文强调PINN适合广义问题，但对于某些理赔分布的极端情况或极端参数设定，尚无充分论证收敛性与误差界。
• 在图表对比中，PINN曲线几乎与经典数值方法完全重合，但并未量化训练时间或资源消耗，难以直观比较性能效率。

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3. 图表深度解读

图1（第7页）

• 内容描述: 展示4层前馈神经网络的结构，包括输入层4个节点，3个隐含层均为5个神经元，输出节点1个。激活函数为$\sigma$（tanh函数）。

- 数据趋势: 无数值数据，是结构示意图。

• 联系文本: 直观演示神经网络层次结构和节点连接方式，帮助理解PINN的网络架构基础。

- 局限性: 网络层数和宽度固定，实际实验中可能使用更深层网络以获得更优拟合，图示仅为示意。

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图2（第11页）

• 内容描述: 对比指数理赔密度下，四个Gerber-Shiu函数的PINN估计（绿带表示20次实验置信带）和传统插值方法（红线）结果曲线。

- 趋势与解读:
- 所有四个函数都显示高度一致性，PINN估计结果在置信带内紧密聚集，贴合传统数值解。
- 对于破产概率和拉普拉斯变换，函数单调下降，符合理赔损失增加导致安全“破产”概率上升的理论预期。
- 期望理赔大小和期望亏损曲线表现平滑，符合保险模型常见风险分布。

• 支持文本: 证明PINN方法稳定且精确，能够代替经典求解方式。

- 潜在局限: 置信带宽度未具体量化，图形基于视觉判断。

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图3（第12页）

• 内容描述: Erlang(2)理赔密度下，PINN平均曲线（绿色）与传统collocation曲线（红色）对比。

- 趋势与解读:
- 两种方法给出基本重合的结果，说明PINN成功捕捉了Erlang分布的复杂赔付形态。
- E大于指数分布，破产概率下降较缓，反映赔付更均匀的特征。

• 联系文本: 支持论文关于PINN普适性和对多样赔付模型适用性的论断。

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图4（第13页）

• 内容描述: 复合指数理赔密度的结果对比图。结构同上。
• 趋势与解读:

- PINN与传统方法结果高度拟合，反映该复合密度的更复杂结构也被PINN准确捕获。
- 该分布具有独特双指数特征，验证了PINN处理复杂概率密度的能力。

• 联系文本: 进一步体现PINN的广泛应用潜力。

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图5（第14页）

• 内容描述: 存在常数红利障碍时，三种理赔密度条件下，计算的拉普拉斯变换破产时间的Gerber-Shiu函数对比，PINN结果与collocation法。
• 趋势与解读:

- 在障碍$b=10$条件下，传统方法和PINN在全区间的性能匹配良好，稳定性高。
- 因为PINN只需设定边界导数条件，无需确定初值，使其更为实用，数值计算中表现可靠。

• 联系文本: 强调PINN在复杂边界条件处理上的优势，是该研究贡献的重点。

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4. 估值分析

• 本报告不涉及金融市场估值，其核心为风险模型下某一类积分微分方程的数值解法。
• PINN方法的“估值”可理解为函数近似的学习过程，在该过程中：

- 采用最小化基于微分方程和边界条件残差的损失函数。
- 采用自动微分计算偏导数，用于反向传播算法优化网络。
- 积分采用数值高斯求积方法，与神经网络微分计算混合使用。

• 网络优化器选择Adam和L-BFGS的说明，体现了训练过程的多样性与稳定性。
• 本质上PINN是数值解法的算法框架，不提供封闭式解析解，但对复杂模型的适应性强。

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5. 风险因素评估

• 数值准确度受积分近似方法限制，特别是在大储备$u$值区域，积分误差会显著影响计算。
• 神经网络训练依赖随机初始化，尽管多次实验验证稳定性，但不可避免存在一定的波动风险。
• PINN训练对超参数调节敏感，且算力需求较高，复杂模型计算成本上升带来潜在风险。
• 该方法尚难以保证在所有理赔分布与参数组合下均有经验性收敛保证。

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6. 批判性视角与细微差别

• PINN的优势在于边界条件处理灵活，尤其无需初值$\Phib(0)$，但相应地对神经网络训练效率和架构设计提出要求。
• 该方法需要配合高斯积分法展开积分部分，未采用端到端自动微分计算，可能降低整体的自动化程度。
• 报告未详细论述计算资源消耗及训练时间，实际工业应用中成本效益比待进一步验证。
• 文中没有深度探讨对理赔分布极端情况（重尾、奇异分布）PINN表现的理论保障。
• 多数数值对比基于曲线拟合，缺少统计学意义下的性能评估（如置信区间、收敛速率量化）。

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7. 结论性综合

本文提出一种基于物理信息神经网络（PINNs）的全新计算Gerber-Shiu折现罚函数的方法，适用于带利息和常数红利障碍的风险模型。研究对基于经典复合泊松模型的风险储备过程构建了数学模型，用积分微分方程描述Gerber-Shiu函数，并利用神经网络自动微分框架，构造了包括微分方程残差与边界约束残差的损失函数，采用梯度优化算法训练网络。

数值实验涵盖指数分布、Erlang(2)分布及指数组合分布三类理赔模型，计算四类典型Gerber-Shiu函数指标，结果在多次随机试验中表现稳定且精度高。与传统数值方法（如collocation方法）对比，PINN求解结果拟合度极高，最大相对误差约为$10^{-5}$，充分验证了该新方法的有效性。

特别在引入固定红利障碍后，PINN能够灵活满足边界导数零条件，回避求初值难题，为复杂边界问题提供了新思路。PINN方法的通用性强，可拓展至更广泛的保险风险模型和其他积分微分方程问题。

然而，积分项仍采用传统高斯数值法，未来研究可能探索更优的积分估计策略以提升整体精度和计算效率。同时，训练稳定性和运行成本也是实际应用中需关注的重点。

图表清晰展示了各理赔密度下估计函数的稳定性和与经典数值方法的高度一致性，生动证明PINN作为一种混合深度学习与传统数值方法结合的创新工具，在精算金融领域中具有广阔的应用前景。

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参考图表

图1 网络结构示意图

图2 指数理赔密度下各Gerber-Shiu函数估计对比

图3 Erlang(2)理赔密度下估计曲线对比

图4 指数组合理赔密度对应估计曲线

图5 带固定红利障碍条件下Laplace变换破产时间估计

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参考文献

报告中引用大量保险精算、风险过程理论及机器学习前沿文献，特别是：

• Gerber & Shiu (1998) 创立的贴现罚函数理论

- PINNs相关文献（Raissi et al., 2019a,b；Lu et al., 2021）

• 传统数值方法研究（Lin et al., 2003；Yuen et al., 2007；Cai & Dickson, 2002）

- 最近深度学习在精算中的应用（Wüthrich, 2018；Gabrielli & Wüthrich, 2018）

这些文献奠定了报告理论与方法基础。

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总结

本文严密构建了含利息与固定红利障碍的Gerber-Shiu函数积分微分方程模型，并创新性地结合深度学习和传统数值积分构建了PINN求解框架。丰富的数值验证证明该方法准确、稳健且更灵活，突破了传统方法对特定分布和初值的限制，为风险过程的实用计算开启了新方向。未来研究可从算法效率、积分处理和扩展模型复杂度入手，进一步提升该方法的应用价值。[page::0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22]

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