• 量子概率的基本数学框架及其与经典概率的关系：量子概率将概率从实数扩展到复数，包含模和相位两部分，相位部分可捕捉交易意图的周期性波动和信息交互作用，提供对资产收益多模态分布的描述优势。[page::4][page::5][page::6]

- 活跃交易意图（ATI）建模：引入复数振幅函数$\Psi(r) = \phi(r)e^{i \theta(r)}$，其中$\phi(r)$代表交易强度，相位$\theta(r)$反映交易者多空态的切换及交易情绪和理性行为的综合，支持信息交互导致收益概率密度的非线性叠加与金融No-Trade效应。


[page::6][page::9][page::11]

• 基于ATI与金融市场交易行为推导出类薛定谔交易方程，涉及两个能量项：一是市场潜在供需缺口对应的“势能”，二是已实现交易量对应的“动能”，并由内禀交易量$\overline{E}$构成交易能量守恒关系。

- 交易能量量化为离散的能级，低能级对应正态分布，高能级对应多峰分布。$\Omega$的离散性来源于量子态收敛条件。
- 没有依赖传统量子物理对资产收益具有微观粒子运动的假设，而是依赖金融交易行为赋义。 [page::13][page::15][page::16]

• 模型求解及关键结果：在无四次项时，概率密度为Hermite多项式乘以高斯函数，得到标准的正态分布（基态$\Omega_0=1$）。更高能级导致多峰收益分布，峰值数量随内禀交易能级的增加而增多，表现为相态跃迁。

四次项不为零时，能级不再均匀间隔，需数值求解。 [page::17][page::18][page::19]

• 实证检验：中国A股市场CSI 300成分股及主要指数样本覆盖2011-2020年，采用日对数收益率和对应的交易额近似内禀交易量。通过HY多峰性检验方法，依据交易量阈值划分子样本，测试收益率分布由单峰向多峰的切换，发现约49%的资产存在明显的交易量“地面态能级”效应，且多峰分布主要在较高交易能级显现。

典型代表资产SZSE成分指数与东财展示了基态和高能态下的截然不同收益分布形态，符合理论预期。
[page::19][page::20][page::21][page::22]

• 结论：量子概率理论框架本质为经典概率的复数扩展，能精确捕获交易者决策的多态信息与交易行为的非线性互动，揭示资产收益隐含的离散交易能级和多峰分布成因，实证中国股市数据支持该模型，提升风险管理下尾部风险刻画能力，为金融市场波动机制和量化风险度量开辟新路径。[page::23]

量子概率理论资产收益建模报告深度解析

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一、元数据与报告概览

• 报告标题：《Quantum Probability Theoretic Asset Return Modeling: A Novel Schrödinger-Like Trading Equation and Multimodal Distribution》

- 作者及机构：Lin Li，东华理工大学商学院金融系（上海），及瑞士苏黎世联邦理工学院风险中心

• 发布时间：未具体标注，文章引用截至2022年，属于较新研究

- 研究主题：提出基于量子概率的资产收益建模方法，创新性引入类似薛定谔方程的交易方程，解释资产收益的多峰分布特征

核心论点：传统金融模型多基于经典概率与随机过程，难以完美刻画资产收益的复杂统计特征，如多峰分布和厚尾现象。作者提出一个全新视角：量子概率不仅仅是微观粒子随机性的刻画工具，而是一种向复数域推广的概率数学方案。利用量子概率的复数相位，能有效描述市场交易者“多模态”决策意图及其互动，从而衍生出一个薛定谔类的交易方程。该方程描述了隐含的交易“能级”结构，引出收益分布随着交易强度的变化从单峰到多峰的相变，并通过中国股市数据展示实证支持。[page::0,1,22]

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二、逐节深度解读

2.1 引言（1-3页）

• 总结：传统资产收益建模多依赖经典随机过程，主要涉及GBM、CEV、Heston、GARCH及多因子模型，虽然考虑了波动率、跳跃及状态转移等复杂因素，但仍停留在经典概率框架下，难以充分解释收益的多峰、厚尾等非高斯特征。[page::1]
• 量子模型背景：量子金融兴起，借鉴物理中微观粒子随机性，通过路径积分或薛定谔方程类方法建模资产动态。但大量现有研究只是形式对应，难以赋予金融交易合理含义，且计算复杂。[page::2,3]
• 本文立场：突破将金融资产运动类比为微观粒子运动的传统假设，强调量子概率作为复数域概率的数学推广本质，与经典概率构成包含关系，重新解释量子概率在金融中的应用，揭示其内在优势。[page::3]

2.2 基础量子概率概念（4-6页）

• 内容总结：详细阐释经典概率（CP）和量子概率（QP）的数学结构。CP以三元组$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$定义，样本空间、事件族和概率测度；QP以三元组$(H, \mathcal{E}, \rho)$定义，Hilbert空间$H$、正交投影算子集合$\mathcal{E}$及态算子$\rho$（密度算子）。通过Dirac符号体系与投影算子，将经典事件映射到量子事件，概率用迹运算$\mathrm{tr}(\rho E)$表达。[page::4,5]
• 关键理解：当概率振幅$\psi$为实数时，QP退化成CP形式；而复数振幅引入相位信息，携带附加市场交易信息，特别是周期性和多峰分布特征的捕捉能力，使量子概率超越传统概率。[page::6]

2.3 量子概率构建的资产收益统计规律（6-12页）

• 主要观点：传统收益分布$f{\tilde{r}}(r)$仅描述达到某回报率的概率，但忽视了市场参与者的主动交易意图（ATI，Active Trading Intentions）。该意图包括长短方向的状态，及其强度，但经典分布对此无反映。[page::6]
• ATI模型：利用复数极坐标形式$\Psi(r) = \phi(r) e^{i\theta(r)}$表示概率振幅：

- $\phi(r)$反映ATI强度，即交易发生的可能性密度
- $\theta(r)$编码ATI性质，指示交易方向（长/短）及投资者情绪（理性仓位调整与情绪交易）的复合信息

通过ATI相位的旋转，描述投资者在价格变动中的循环交易心理（多次在长短意图间切换），对应复平面上的四象限，具体表现为仓位增加/减少与看涨/看跌情绪。[page::7,8,9]

• 信息交互效应：引入博弈式视角，考虑两个投资人（Alice、Bob）ATI的相互作用，展示相位叠加产生的“无交易定理”效应，明示相位差决定了交易强度的增减，表现成概率密度的增减项，映射交易意图的强化或抵消。此“信息互动”效应难用经典概率表达，量子概率的复数加法乘法恰好自然刻画了此过程。[page::10,11]
• 多投资者聚合：市场ATI整体为所有投资者ATI的复数和，即

$$ \Psi(r) = \sum{i=1}^N \phii(r) e^{i \thetai(r)} $$

该叠加原则成为本模型捕捉市场多峰收益分布的数学核心。[page::11]

2.4 资产收益的量子概率模型构建（12-16页）

• ω-市场定义：通过傅里叶分解，将市场分解为不同频率$\omega$的子市场（$\omega$-市场），每一子市场拥有特定的回报率目标和情绪周期，描述交易决策的旋转周期性及情绪周期。[page::12,13]
• 交易量与能量类比：

- 交易次数与ATI旋转角度成正比，购买/卖出数量影响交易量，
- 通过量化不同时刻和不同$\omega$市场贡献的交易量，引入交易量微分关系
- 推导出交易量与资产收益概率振幅的算子表达形式，构造量子力学中动能算子的对应物，解释为“实现交易量算子”[page::13,14]

• 潜在供需缺口模型：

- 分类流动性供应方，理性投机者、非理性投机者和噪声流动性提供者，建立潜在的供需缺口（SDG）函数$Z$
- 供需缺口变化量$\mathrm{d}Z$用多项式形式表达，构建潜在“势能”量
- 将潜能与实现交易量结合，形成包含二次和四次项的非线性势函数[page::14,15]

• 薛定谔类交易方程（式15）：

$$
-\frac{h}{2} \frac{d^2}{dr^2} \Psi(r) + \left( \frac{\alpha}{2} r^2 + \frac{\delta}{4} r^4 \right) \Psi(r) = \overline{E} \Psi(r)
$$

- 其中，第一项对应实现交易量（动能），第二项对应潜在供需缺口（势能），右侧$\overline{E}$为内禀总交易量（总能量）
- 该方程为资产收益的核心数学模型，与量子力学中薛定谔非线性振荡子方程类似，但所有物理常数具备金融含义，非基于微观粒子运动的假设。[page::15,16]

2.5 资产收益模型求解（17-19页）

• 无四次项能级解（λ=0）：

- 方程退化为简谐振子，解为Hermite多项式乘高斯核，能级$\Omegan = 2n+1$
- 地面态$n=0$对应最小总交易量，收益率服从正态分布

$$
f(r) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left(-\frac{r^2}{2\sigma^2}\right), \quad \sigma = \sqrt[4]{\frac{h}{4 \alpha}}
$$

• 高能级对应多峰分布：

- 能级越高，收益概率密度的峰数越多，形状多峰且尾部更厚
- 代表市场交易活跃度抬升时，资产收益分布经历“相变”，从单峰向多峰转变
- 图4直观呈现$\Omega=1,3,5...$对应的收益分布演变形态。[page::17,18]

• 带四次项非线性（λ≠0）：

- 无解析解，求解对应三次代数方程确定非整数能级
- 能级间距随参数状态变化不均匀，反映市场复杂交易结构。[page::19]

2.6 实证研究（19-22页）

• 样本介绍：

- 使用2011-2020年中国沪深300成分股及三大指数数据（日频对数收益，成交额）
- 234只资产筛选，确保至少4年以上交易历史

• 方法：

- 将交易量量化为近似能量水平，依据其划分样本，检测收益分布的单峰/多峰转变
- 采用霍尔-杨(HY)多峰检测算法，进行多次蒙特卡洛重采样计算p值，判定交易能量阈值点。
- 递增分割点，确定最小“地面态能量水平”对应交易量阈值。

• 结果：

- 约49%个股显著表现多峰分布，支持量子能级多峰假设
- 不同资产的能量地面态值无明显与交易量大小的线性关系，符合模型预测[page::19,20,21]

• 案例展示(图6)：

- SZSE成分指数和东方财富股票分别显示：
- 地面态时，收益分布接近正态单峰
- 非地面态下，出现明显多峰，包含二峰甚至三峰成分
- 充分验证了模型对中国市场数据的适用性和解释力

2.7 结论（22-23页）

• 总结：

- 量子概率作为经典概率的复数推广，包含模值和相位两类信息，赋予了捕捉市场交易多峰收益分布的数学优势
- 通过ATI引入金融意义的概率复振幅，相位编码交易方向和情绪，反映交易者行为周期
- 薛定谔类似交易方程揭示了市场存在离散交易“能阶”，收益分布随交易能级呈现“相变”
- 实证中中国股票市场数据明确支持分布多峰转换现象与交易能阶的匹配
- 为金融风险管理提供新视角，如对应高能量时采用多峰分布来衡量尾部风险更加合理

• 未来方向：拟合期内动态估计能级状态及交易能量，完善风险度量模型

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三、关键图表详解

图1（第8页）

• 内容：

- (a) $\Psi(r)$曲线在三维空间(r - $\phi(r)$ - $\theta(r)$)的螺旋形状，反映了复数振幅随风险收益变化的模与相位
- (b) 对应的收益概率密度$f(r)=|\Psi(r)|^2$
- (c) 独立的复平面图，显示振幅长度$\phi(r)$及旋转角度$\theta(r)$

• 解读：

- 展示了量子概率振幅如何融合幅度和相位，幅度反映交易强度，旋转角度反映交易心理周期
- 强调复数表示深入捕捉了经典概率无法涵盖的交易意图信息

• 联系文本：

- 证明通过$\Psi(r)$复数表征ATI，可以完整替代传统单一概率密度，从数学上正当化模型主张。[page::8]

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图2（第9页）

• 内容：ATI平面，将复数振幅$e^{i\theta(r)}$映射至复平面，四象限代表不同交易意图组合：长/短仓位及看涨/看跌情绪
• 解读：

- 复数平面各象限对应情绪与行为的不同组合，非常直观形象地表达复振幅相位的经济含义
- 显示ATI从纯长或纯短经过混合阶段循环转换，符合现实投资者行为特征

• 理论联系：

- 说明为何使用复数相位信息，而非简单实数概率可以更好地刻画市场情绪和交易策略的多样变化。[page::9]

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图3（第11页）

• 内容：两个市场投资者Alice与Bob的ATI矢量叠加，演示相位反向抵消导致“无交易”现象的发生
• 解读：

- 突出信息交互对交易活动的影响，复数矢量叠加表征交易意图有效抵销，导致交易量驳回
- 体现了量子概率模型中交易意图额外信息的实际作用，能够捕捉真实市场信息结构和价格形成机制

• 文本对应：

- 明确提出信息交互作用数学表述和金融意义，验证复数操作的高效性及现实合理性。[page::11]

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图4（第18页）

• 内容：不同能级$\Omegan$对应的收益概率密度函数曲线，从$\Omega1$（单峰，正态）到$\Omega{11}$（多峰复杂形状）
• 解读：

- 直观展示随着内禀交易能量增加，收益整体分布从单峰向多峰转变，顶峰数量递增且尾部加重，体现模型预言的“相变”
- 反映市场活跃度与收益结构间的联系，为多峰收益模式提供坚实理论支持

• 关联文本：

- 支撑理论解的金融含义，解释非高斯收益的产生机制及其和交易活跃度间的关系。[page::18]

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图5（第20页）

• 内容：沪深300成分股及三大指数资产的能量地面态“阈值”统计图，纵轴为标准化交易量阈值$\eta$，横轴为平均日交易量，颜色标示多峰检验显著性水平
• 解读：

- 约半数样本显示交易能量地面态低于实际最大交易量，强调存在显著离散交易能级
- 能量阈值无显著与交易量正相关趋势，表明能级为资产固有特性，不仅受规模影响
- 三大指数样本分布证明该结论跨资产类别、交易所稳健

• 文本连接：

- 提供实证证据，验证理论模型中交易能级和收益多峰的统计推断基础。[page::20,21]

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图6（第21页）

• 内容：两个代表性资产SZSE成分指数和东方财富在两种不同交易能级状态下收益分布直方图与核密度
• 解读：

- 地面态时单峰且接近高斯，与模型一阶能级吻合
- 非地面态时明显出现双峰及更高多峰，分布形态变化明显，符合模型中相应多峰解的表现
- 明确展示金融数据中收益分布的能级依赖特性和相变过程

• 文本对应：

- 具体实例支持多峰收益分布生成机制，强化量子概率模型与实证现象的契合度。[page::21,22]

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四、估值分析

本报告非财务估值模型，故无传统估值章节。其核心是建立资产收益的概率分布模型，并对市场交易行为进行量子概率学解析，重点在于统计特征与风险度量。其“交易能级”类似物理能量本征值，提供新的市场活跃度刻画及风险定量方法。

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五、风险因素评估

报告未专门讨论风险因素章节，但模型设计及实证分析暗示若交易能级处于高水平，收益分布多峰且厚尾，增加极端风险暴露。另外，模型依赖大量数据估计交易能级及参数，若市场结构发生根本性变化或数据不足，会降低模型适用性和预测准确度。

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六、批判性视角与细微差别

• 报告跳脱传统将资产波动视为微粒运动物理类比的假设，强调量子概率本质为概率数学推广，视角新颖，减小量子效应未验证带来的模型风险。

- 但模型参数较多（如$\alpha, \delta, h, \lambda$等），具体经济含义虽解释，但实际标定和解释仍存在挑战和不确定性，特别是潜在的供需缺口函数具体形式的假设较强。

• 信息交互的模糊表述如何精确量化仍需进一步探讨，模型较多采用解构式阐释，实证检验更多是对整体模式而非细节验证。

- 模型对非中国市场或高频数据的适用性尚未展开，外推需谨慎。

• 实证中，多峰检测依赖分割样本及统计检验，存在一定统计误差或选样自主带来的影响。

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七、结论性综合

本报告创新性提出量子概率资产收益建模框架，将市场交易者的主动交易意图映射为复合概率振幅，成功挖掘出交易行为的能级结构，并用类似于薛定谔方程的数学形式描述资产收益概率分布的演变规律。理论上，资产收益分布由单峰正态到多峰复杂结构，反映不同交易内禀“能量”状态，解读了厚尾与多峰现象的生成机理。

实证部分以中国沪深300成分股和主流指数为例，通过交易量分割结合多峰统计检验验证了模型预测的分布“相变”现象，几乎一半资产显示出显著的多峰收益分布，支持“交易能级”存在。

图表如图1-3揭示了理论基础与理解，图4呈现了随交易能级增长的收益多峰演进，图5-6则通过实证样本具体展现模型在真实市场的适用。整体上，模型为资产收益分布的深层次理解及风险管理提供了量子概率视角的有力工具，尤其适合测度并预测市场极端波动与尾部风险的新框架。

未来方向应聚焦能级状态的动态估计、跨市场对比验证及多尺度交易行为的量子概率建模扩展，推动理论应用于实际金融风险管理和组合优化。

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参考

• 本分析严格依据全文内容进行，引用标注页码为每引用论断页码标记。
• 图示均以markdown格式内嵌，按文档路径引用：

- 图1:

- 图2:

- 图3:

- 图4:

- 图5:

- 图6:

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