• 风险度量理论背景及研究动机 [page::0][page::1]：

- 经典单变量风险度量包括相干风险度量、凸风险度量、星形风险度量，反映不同的风险容忍特征。
- 集合值风险度量适用于多元资产场景，考虑交易成本、流动性等市场摩擦。
- 本文旨在推广星形风险度量至集合值情形，弱化凸性假设，丰富风险度量工具箱。

• 集合值风险度量定义及基本性质 [page::3][page::4]：

| 属性 | 定义 |
|----------------------|------------------------------------------------------------|
| (R1) 现金平移性 | \(R(X+u) = R(X) - u\), \(u \in M\) |
| (R2) 单调性 | 若 \(X - Y \in Ld^p(K)\)，则 \(R(X) \supseteq R(Y)\) |
| (R3) 标准化 | \(K \cap M \subseteq R(0)\) 且 \(R(0) \cap -\mathrm{int}(K \cap M) = \emptyset\) |
| (R4) 凸性 | \(tR(X) + (1 - t)R(Y) \subseteq R(tX + (1 - t)Y)\) \(t \in (0,1)\) |
| (R5) 正齐次性 | \(t R(X) = R(tX)\), \(t > 0\) |

- 接受集 \(A \subseteq Ld^p\) 具备闭合性、单调性及相关进一步性质，实现风险度量与接受集一一对应。

• 集合值星形风险度量的定义及特征 [page::5][page::6]：

- 星形性定义：对于所有 \(t \in [0,1]\)，有 \(t R(X) \subseteq R(tX)\)。
- 该属性弱化凸性和正齐次性，但保持一定的“凸性零点”形式。
- 星形风险度量满足现金平移性和单调性。
- 星形接受集满足星形性的接受集条件。

• 星形风险度量的性质与等价条件 [page::8][page::9]：

- 星形风险度量等价于风险暴露比 \(rX(\beta) = R(\beta X)/\beta\) 的单调收缩性。
- 对子加性风险度量，星形性、凸性及正齐次性等价。
- 接受集星形性表现为缩放包含关系。

• 星形风险度量例子 [page::7][page::8]：

- 凸风险度量集合的并集构成星形风险度量。
- 集合值风险度量中的VaR（Value-at-Risk）呈星形但非凸。
- 基于非凹效用函数的短缺风险度量满足星形条件。

• 表示定理：集合值风险度量族的并集表示法 [page::10][page::17]：

| 条件 | 等价表示 |
|--------------------------|--------------------------------------------------------|
| \(R\) 是集合值风险度量 | 存在凸接受集族 \(\{A\gamma\}\)，使得 \(R(X) = \bigcup{\gamma} R{A\gamma}(X)\) |
| 星形且标准化 | 存在凸标准化风险度量族，\(R\) 仍为上述族的并集 |
| 正齐次 | 存在集合值相干风险度量族，\(R\) 为其并集 |

- 并集代替标量风险度量中下包络的表示方式，反映集合值风险的结构化。

• 集合值风险度量与星形风险度量的转换关系 [page::19][page::21]：

- 风险度量 \(R\) 存在平移 \(Y\) ，使得平移风险度量 \(RY(X) := R(X+Y)\) 是星形风险度量。
- 此时接受集可表示为凸族的联合，且该族的交集非空。
- 该转换强调了星形风险度量与一般风险度量间的内在联系，促进非凸风险度量的研究。

• 结论亮点及未来方向 [page::23]：

- 引入了集合值星形风险度量，弱化了凸性假设，拓展风险度量理论。
- 证明了表示定理，明确了风险度量族的结构。
- 建立平移关系，实现星形风险度量与一般风险度量的桥梁。
- 未来工作可延展至动态框架以适应时序风险管理。

金融数学领域研究报告详尽分析

报告标题： Set-valued Star-Shaped Risk Measures
作者： Bingchu Nie, Dejian Tian, Long Jiang
机构： 中国矿业大学数学学院
主题： 引入与研究集合值（Set-valued）星形（Star-shaped）风险度量的性质与表示定理

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1. 元数据与概览

本报告旨在提出一种新的集合值风险度量类别——集合值星形风险度量（Set-valued Star-shaped Risk Measures），并研究其性质和表示结构。受标量值（scalar-valued）货币及星形风险度量研究的启发，作者将星形性质推广至集合值风险度量框架。
核心内容包括：

• 定义集合值星形风险度量及相应的接收集（Acceptance sets）。

- 证明集合值风险度量及规范化星形风险度量均可被一族集合值凸风险度量的并集所表示。

• 揭示集合值风险度量与集合值星形风险度量之间的联系。

重要关键词：集合值风险度量、星形风险度量、凸风险度量、表示定理。该工作推动了集合风险度量在非凸性条件和多资产组合定价维度的扩展，具有理论与实用价值 [page::0] [page::1] [page::2].

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2. 逐节深度解读

2.1 引言部分

该部分介绍了风险度量的历史脉络与发展背景。最初的相干风险度量（coherent risk measures）由Artzner等人(1999)提出，满足单调性、平移不变性、次可加性及正齐次性。后续学者放宽条件，引入了凸风险度量，准凸风险度量及新近的星形风险度量，形成多样化的风险度量体系。另外，传统风险度量为标量函数，直接映射随机变量到实数，无法涵盖交易成本、流动性限制等多维风险因素。集合值风险度量为多维场景提供数学框架，映射多维随机资产到确定的可补偿风险的集合。文献回顾了开创这一定义的Jouini等(2004)及后续积分凸分析技术的研究现状[page::0].

为克服集合值风险度量凸性限制，本报告的创新点为引入星形性质，扩展凸风险度量的适用场景和灵活性。星形风险度量比凸风险度量条件宽松，但继承了许多有用的结构属性。作者阐述将综合标量星形风险度量的表示定理，探索集合值风险度量的星形拓展及其与凸风险度量间的结构桥梁[page::1].

2.2 预备知识与符号定义

本节详尽说明了数学符号与理论背景：

• 风险空间为概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$，相关函数空间 $Ld^p$ 包含所有 $d$ 维随机变量，并赋以相应的范数，使其成为Banach空间。

- 引入闭凸锥 $K \subseteq \mathbb{R}^d$ 模型市场摩擦与海森（solvency cone），满足市场流动性条件。

• 设线性子空间 $M\subseteq\mathbb{R}^d$ 代表合格投资组合类型，如只允许首$m$种资产。

- 定义部分序关系 $\succeq$ 对随机变量进行多维值比较，对模型金融组合的优劣提供有力工具。

• $ \mathbb{F}M $定义了一类上闭合子集，是集合值风险度量的目标空间。

- 集合值风险度量函数 $R: Ld^p \to \mathbb{F}M$ 被定义为满足现金加法性（R1）和单调性（R2）的函数。进一步性质包括规范化（R3）、凸性（R4）及正齐次性（R5）。

• 接受集 $A$ 表征不需额外补偿的可接受资产配置，满足方向闭性（A1）、单调性（A2）及可能的规范化（A3）、凸性（A4）、锥性（A5）。

- $R$与$A$之间存在互为零子层集的双射关系，详见引理2.1, 2.2，保证了风险度量的替代表述[page::2] [page::3] [page::4] [page::5].

2.3 集合值星形风险度量

此节正式定义集合值星形风险度量$R$及星形接受集$A$，其满足货币风险度量基本性质及星形性：

• 星形条件：对于所有 $X \in A$ 和 $t \in [0,1]$， $tX \in A$。几何上意味着集合以原点“呈放射状”配置（如星形）。

- 星形风险度量满足半规范化条件：$0 \in K \cap M \subseteq R(0)$，使其相比规范化风险度量更宽松。

• 星形风险度量弱化了正齐次性和凸性，正齐次及凸风险度量必为星形风险度量，但反之不成立。

- 相关性质被严格证明，如星形风险度量对规模的缩小映射（风险补偿集比例随持仓增大而缩小），体现风险的非线性与组合效应。

• 标量一维情形下，星形风险度量对应广义星形风险度量，兼具理论和经典优点。

- 举例涵盖凸风险度量的汇集、集合值VaR及非凹效用基础的短缺风险度量，均符合星形性质 [page::5] [page::6] [page::7] [page::8].

2.4 星形风险度量与接受集的联系

通过命题3.4证明，集合值风险度量$R$与其接受集$AR$均可相互映射且保留星形结构。
进一步提出星形风险度量的等价条件，表达为风险-暴露比率函数的缩小映射性质。
对于已归一、次可加的风险度量，星形、正齐次、凸性三者等价；此结论给出理论基础，将星形定义纳入传统风险度量框架中[page::8] [page::9] [page::10].

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3. 图表深度解读

本工作无图表或图片，主要以严格数学定理、定义证明与例证构成，所有关键对象为集合与映射，分析依赖严格的代数与拓扑性质，无视觉辅助数据集。

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4. 估值分析（集合值风险度量的表示定理）

本节的重点是集合值风险度量（及规范化、星形、正齐次版本）能够被一族集合值凸风险度量的并集表示，这意义深远。其核心逻辑为：

• 定理4.1 说明，任何集合值风险度量$R$皆可通过一个凸接受集族 $\{A\gamma\}$表示，进而对应为集合值凸风险度量族的并集，即

$$R(X) = \bigcup{\lambda \in \Lambda} R\lambda(X)$$
其中每个 $R\lambda$ 是一个集合值凸风险度量。

• 证明方法包括将接受集$AR$拆分为包含元素的凸集外延$A(Z)=\{X: X \succeq Z\}$，每个$A(Z)$皆凸，且这些$A(Z)$的并集等于$AR$。风险度量转换对应这些接受集的风险度量映射。

- 该表示极大便利了集合值风险度量的分析与计算，因为凸风险度量具有丰富的凸分析工具。

• 定理4.2 则聚焦于规范化星形风险度量，构造凸归一化接受集的凸包族$\mathrm{conv}(\{0,Z\} + Ld^p(K))$对$Z\in A_R$，继而获得规范化星形风险度量的类似表示。

- 推论4.2 扩展至正齐次风险度量，表示为集合值相干风险度量族的并集。

• 表示解释了为何非凸性质（如星形）风险度量能通过凸风险度量构造得到。

- 举例中，集合值VaR虽非凸，但可用该表示定理用相干风险族或凸风险族逼近[page::10] [page::11] [page::12] [page::13] [page::14] [page::15] [page::16] [page::17].

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5. 风险因素评估

本研究并未直接拓展经济或市场风险的具体风险因素，而是从数学结构角度探讨风险度量的性质和表示。主要“风险”可视为方法论上凸性丧失引致的分析困难。通过本报告：

• 星形风险度量松弛了凸性假设，增大适用范围同时牺牲部分成熟凸分析工具。

- 表示定理承认由多族凸风险度量包络得到非凸星形风险度量，为风险评价的分层与多样化提供基础。

• 特别在集合值框架下，星形性质及其与传统风险度量的“平移”转换关系，对理论构架的稳定性是新挑战，该工作对此给出详细论述。

- 风险缓解策略隐含于表示定理本身，凸风险度量族的选择及其交集的存在性规则了星形风险度量的结构完整性[page::18] [page::19] [page::20] [page::21].

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6. 批判性视角与细微差别

• 尽管理论构架严谨，报告提示集合值风险度量的若干性质（如平移引起的星形性）与标量风险度量的类比并非完全一致（Remark 5.2），暗示多资产风险度量系统中存在更加复杂的几何和拓扑结构。

- 报告利用“集合的并集”代替标量风险度量的“下包络”操作，这一跳跃虽合逻辑，但非凸优化下计算量巨大，实际应用中可能受限。

• 受限于集合值函数的复杂性，本文未给出动态风险测度情况（如BSDE等）下星形性质，全局推广有待未来工作。

- 对标准输入（如锥的选择，子空间$M$的限制）的敏感性未深入探讨，这可能对具体金融场景的适用产生影响。

• 示例主要理论推导多于数值模拟或金融案例，未来工作可补充实际数据适用性验证。

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7. 结论性综合

本报告从理论层面开创性地引入并系统研究了集合值星形风险度量，主要贡献和发现有：

• 精确定义了集合值星形风险度量及相应星形接受集，形成完备的理论基础。

- 确立了集合值风险度量及规范化星形风险度量可由凸风险度量族的并集唯一表示的深刻表示定理，结构上体现风险度量的分解素质。

• 明确了集合值星形风险度量与正齐次、凸风险度量之间的内在逻辑关系，复合风险度量的数学结构表现出类似标量风险度量的核心属性。

- 揭示集合值风险度量平移后即成为星形风险度量的条件及构造方法，丰富了风险度量间的变换理论体系。

• 结合标量情形说明理论具有兼容性，不失一般性。

- 提供若干典型示例（集合值VaR、非凸效用驱动风险度量等），凸显新理论的广泛适用潜力。

该研究对于多资产组合的风险管理具有重要理论指导意义，尤其是在复杂市场摩擦和非线性风险特征交互时的风险度量设计和分析。未来研究方向包括扩展至动态风险测度框架，并进一步开展实务层面数值方案和案例应用研究[page::23] [page::6] [page::10] [page::20].

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# 综上，本报告基于集合值风险度量的抽象数学模型，拓展以星形风险度量为核心的非凸风险分析方法，完善了风险度量的分类与表示体系，且严格对接传统凸风险度量框架，理论贡献显著，为金融风险评价和资本计量提供了新视角和工具。

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