• 研究背景与问题定位 [page::0][page::1]：

- 传统资产定价理论依赖几乎必然非负的可接受头寸和无套利(NA)条件，NA与风险中性测度的存在等价。
- 实践中风险度量（如VaR）引入了风险可接受性概念，导致传统的一步对冲条件难以满足，因而需推广NA条件与超额对冲价格定义。

• 模型与基本设定 [page::3][page::4][page::5]：

- 在离散时间概率空间上，定义动态风险度量\(\rhot\)及相应的接受集\(\mathcal{A}t\)，其中可接受位置是闭合凸锥。
- 风险对冲价格定义为存在策略使得对冲差异在风险度量意义上可接受，并递归定义最小风险对冲价格\(Pt^\)。

• 无套利条件NA的扩展与性质 [page::6][page::7][page::8]：

- 定义瞬时无盈利(AIP)及对称风险中性(SRN)条件，NA为二者同时成立。
- NA条件对应风险度量在标的收益方向上的非负性且对称性，保证了最小风险对冲价格的闭合性及存在最优策略。
- 证明若风险度量为本征下确界，则扩展NA条件与经典NA等价。

• 最小风险对冲价格存在性定理与经济含义 [page::9][page::10][page::19][page::20]：

- 在NA条件下，最小风险对冲价格\(Pt^\)必为风险对冲价格，即最小价存在最优对冲策略。
- 若风险度量满足时间一致性，递归与一次性风险对冲价格集合一致，两者的最小值相同。
- NA条件等价于任意不可自由获得且可接受头寸的对冲价格严格正值，强化了风险度量对资产定价的解释力度。

• 风险度量的对偶表示 [page::11][page::12][page::22]：

- 在风险度量时间一致且满足一定接受集结构条件下，对风险度量在\(L^{0}\)上推广对偶表示，即
\[
\rhot(X) = \operatorname{ess\,sup}{Q\in \mathcal{D}t} EQ(-X|\mathcal{F}t)
\]
对适当类的随机变量成立。
- 对非负变量的对偶表示存在理论难点，解决依赖接受集的闭合性质及包含一定概率容忍度的位置。

• 资产定价基本定理(FTAP)推广 [page::13][page::14][page::25][page::26]：

- 设定可达索赔集\(\mathcal{R}{t,T}\)，风险可接受头寸集\(\mathcal{A}{t,T}\)，在时间一致风险度量及NA条件下，给出多等价条件，包括集合关系及等价鞅测度的存在性。
- 主定理指出NA条件等价于存在等价鞅测度\(Q^{t}\sim P\)使得标的价格过程为Q鞅，且风险度量下的对偶估计不劣于风险度量本身。

• 风险对冲价格的对偶描述与定价表达 [page::13][page::14][page::27][page::28][page::29]：

- 定义限制于满足线性增长约束的标的尾部衰减的随机变量集合\(LS\)。
- 证明风险对冲索赔集合等于满足所有等价鞅测度期望不超的索赔集合。
- 最小风险对冲价格为等价鞅测度下期望的上确界，即
\[
P0^*(hT) = \sup{Q \in \mathcal{Q}^e} EQ(h_T)
\]

• NGD条件与本研究NA条件比较 [page::14][page::15]：

- 稳健风险度量类下，NA条件与Cherny的无良交易(NGD)条件等价。
- 两者均等价于存在使价格过程为鞅的测度。

金融数学报告详细分析

报告标题：Coherent Risk Measure on \(L^{0}\) : NA Condition, Pricing and Dual Representation
作者：Emmanuel Lepinette、Duc Thinh Vu
机构：Ceremade, CNRS 7534, 巴黎多芬大学，PSL国家研究院，法国巴黎；Gosaef, 突尼斯理科学院
联系方式：emmanuel.lepinette@ceremade.dauphine.fr, vu@ceremade.dauphine.fr
主题：基于动态一致风险度量的无套利（NA）条件、金融资产定价及其对偶表征
发布时间：文中未明确标注具体发布日期，文章引用均在2010年至2021年间。

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一、元数据与报告概览

本文聚焦于基于动态一致的连贯风险度量（coherent risk measure）定义在随机变量空间\(L^{0}\)上的金融模型中的无套利（NA）条件，风险对冲定价（risk-hedging price）以及理论上的对偶表征。报告以拓展经典资产定价理论的无套利条件为目标，重新构造资产定价基本定理（Fundamental Theorem of Asset Pricing，FTAP)，并对超额对冲价（超额对冲涉及满足风险度量对应“可接受”的位置集合）给出对偶表征，从理论上强化使用风险度量框架分析金融市场的基础。

核心论点包括：

• 在\(L^{0}\)上基于风险度量定义的可接受集合替换了经典中几乎必然非负的财务状况，扩展了对无套利的理解；

- 重新提出适用于风险度量框架的无套利条件（NA），并将其与经典等价的风险中性概率测度存在性相联系；

• 证明风险对冲价格集合在NA条件下闭合，从而保障最小风险对冲价格是合理的价格；

- 证明动态连贯风险度量的对偶表征拓展至整个\(L^{0}\)空间，扩展了经典只考虑有界风险度量的知识体系；

• 对步进和直接风险对冲价格方法进行比较，展示动态一致性下两者结果一致。

关键词：NA条件，风险对冲价格，动态风险衡量，对偶表征，无套利。数学分类与JEL代码涵盖优化、统计方法及金融经济学领域。

总体上，作者意图推动风险度量与经典金融定价理论的契合，提出强有力的数学基础和实际可用的定价准则。

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二、逐节深度解读

1. 引言

报告从Black-Scholes和Merton的经典无套利条件回顾开始，强调无套利条件表示不存在零成本启动、末期非零收益的套利机会。传统理论中可接受的财务头寸是几乎必然非负的。本文重大创新是用风险度量定义更广泛的接受集，替代“非负”限定，允许风险控制。该扩展有助应对现实中完整无风险对冲难实现的情形，间接使对冲价格一般可能更低。引入风险度量后，重新诠释贴现资产金融市场建模的无套利条件，为之后的理论建立奠定基础。[page::0][page::1]

2. 相关文献与理论背景回顾

本节全景式介绍资产定价基本定理（FTAP）的古今发展，涵盖离散时间及连续时间模型，及其在有风险中性概率测度存在性与无套利等价性上的体现。文献引用详细，如Dalang等[9]的离散时间，Black-Scholes[5]与Harrison-Pliska[20]的连续时间自融资模型，和Kabanov及Safarian[27]的交易费用模型。
同时引入基于风险度量的超额对冲思想，指出传统超额对冲条件十分严格，实践中风险度量（如VaR）允许部分违背。本节总结回顾风险度量理论的应用及其与无套利的不同切入角度，加深对风险度量框架下金融市场基础的理解。[page::1]

3. 风险度量上的定价及无套利拓展

Cherny的工作是本节分析的核心，前者将风险度量定义在有界随机变量空间\(L^\infty\)，通过紧性假设给出风险度量的对偶测度表示。作者论述针对\(L^0\)的风险度量表示仍有挑战，引用最新工作[30]构造的动态风险度量，基于可接受头寸的封闭凸锥，推导了相应的资产组合定义和股票价格波动适应的约束。
本节提出新的无套利NA条件，包含经典的NA与Cherny的无好交易（NGD）两类条件的比较，表明两者在有风险度量刻画下的等价性，同时强调本工作中无需预先给定概率测度，导致FTAP证明更具挑战。
此外，本节概要指出，利用时间一致性风险度量，风险性对冲价格集合性质良好。[page::2]

4. 框架设定与数学工具

详细定义包括离散时间过滤\((\mathcal{F}t)\)下\(L^0\)空间的随机变量可积、测度数据选择的适应性，规划了风险度量的接受集为闭凸锥，记号规范，隐含使用图测度理论保障测度选择论证合法。
风险度量\(\rhot\)满足常见的连贯风险度量性质：归一化、单调性、现金平移不变性、次可加性、正齐次性及下半连续性，接受集\(\mathcal{A}t=\{X: \rhot(X)\leq 0\}\)。介绍基于风险度量的对冲价格定义，允许以策略\(\thetat\)和风险可接受头寸\(at\)来概括价格集合。
特别注重递归计算风险对冲的最小价格\(Pt^\)定义，其是否属于对冲价格集合的闭性，触及该理论的关键物理经济含义。[page::3][page::4][page::5]

5. 价格的递归定义及投资组合策略

介绍用函数\(gt^h(\omega,x) = x St + \rhot(x S{t+1} - P{t+1}^)\)表达对冲价格集合，可测性的处理及其在单维和多维情况下的分析方法。
以组合策略\(Vt\)定义风险对冲的超额对冲，实现价在各期都能满足风险度量的可接受性，从而保证价格的一致性。
渐进分析描述策略的适应性，及其如何构造满足递归定价要求的过程。[page::6]

6. 无套利(AIP和NA)条件

定义即时利润（AIP）为零价格超额对冲消息均为零，等价于风险度量应用在价格波动上均非负。细致等价性包含：

• \(\rho{t-1}(x \Delta St) \geq 0\) forall \(x \in \mathbf{R}^d\)；

- 简化至单位向量集的检查（由齐次性）；

• 风险性可接受的随机向量其风险度量必定为零。

进一步定义对称风险中性条件(SRN)，要求任何零成本策略的双边风险接受，一定对称，和AIP共同构成NA条件。
证明NA条件在当风险度量为经典的无风险度量（即接受集为非负变量）时与传统无套利定义等价。
利用正常积分子（normal integrand）理论确保函数\(gt\)的可测性、凸性与下半连续性。（Proposition 3.6）
新增Theorems 3.7-3.11 系列结果论证在NA条件下风险对冲价集闭合，最小风险对冲价可实现，及NA的经济学解释。
具体地，NA保障任何非自由获得且可接受的头寸其价格严格正，反映市场合理性。[page::7][page::8][page::9][page::10][page::11]

7. 时间一致风险度量与定价方法对比

定义时间一致性的风险度量，联结风险度量在不同时点的价值判别一致性。
介绍直接风险对冲价定义（非递归式）。
（Theorem 4.4, Corollary 4.5）证明时间一致条件下，直接风险对冲价与递归风险对冲价等价，提升对冲价格定义的统一性。
这为动态风险度量的期权定价提供策略优化与风险控制的理论支撑。[page::10][page::11]

8. 风险度量对偶表示的理论突破

报告延续Cherny及Delbaen等人的工作，提出风险度量在某些条件下存在以等价概率测度族\(\mathcal{D}t\)定义的对偶表示：
\[
\rhot(X) = \operatorname{ess\,sup}{Q \in \mathcal{D}t} EQ(-X | \mathcal{F}t)
\]
尤其，扩展空间从有界随机变量拓展到所有在\(\mathcal{F}t\)-条件下上界随机变量。
分析指出在\(L^0\)空间全域推广存在难点，尤其针对非负随机变量的表现，阐释具体病症例子和证明局限性（例如Example 4.7）。
在一定结构的接受集条件下（可接受集连续于一定形式）对偶表示得以推广（Proposition 4.8）。
这为复杂市场模型下风险度量的实用计算提供理论依据。
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9. FTAP及对偶风险对冲描述

定义并引入金融市场的可达头寸集合\(\mathcal{R}{t,T}\)，及相关接受集与对偶集合的交叉性质。
关键假设包括时序一致性、接受集与非正变量交集仅为零，保证市场合理无套利。
列举一系列等价条件，涵盖无套利条件、集合同构、集合闭合性、风险中性概率测度存在（7号条件）。
（Theorem 4.12）为本文给出的基于风险度量的扩展版FTAP，体现了现代风险度量模型下的无套利核心约束和定价测度的等价性。
进一步，给出风险对冲价格的对偶表示，确认最小风险对冲价格为所有风险中性测度下的期望上确界，明确了风险度量环境下期权价格的代表性形式。（Theorem 4.13）[page::13][page::14][page::15]

10. 与No Good Deal条件的关联

比较Cherny提出的No Good Deal（NGD）条件与NA条件，显示两者在经典风险度量和价格过程为马尔可夫过程时等价。（Corollary 4.15）
这一结论整合已有金融定价理论，强调风险度量思路下无套利与禁止优良交易一致的市场结构需求。

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三、图表深度解读

报告中无图表及图片，所有重要数据均以数学公式和定理形式呈现，重点在集合论、风险度量性质及随机过程定义的严谨表达。重点解析了函数\(gt\)及其可测性、最小化性质，集合\( \mathcal{P}t(h{t+1})\)的闭性，风险中性概率测度的存在性，无套利与风险度量的布局。新引入的随机选择、正交分解、对称风险中性条件以随机分析方式给出，均用于在\(L^0\)上保持严格的数学推理基础。

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四、估值分析

核心估值来源于风险对冲价格集合\(\mathcal{P}t(h{t+1})\)

• 运用优化方法寻找最小风险对冲价格\(Pt^\)，通过函数\(gt:\mathbf{R}^d\to\overline{\mathbf{R}}\)求解最低代价。

- 基于风险度量\(\rhot\)引入现金平移、次可加和正齐次性，保证估值过程的连贯性和风险响应特性。

• 时间一致性风险度量确保递归风险对冲价格与直接风险对冲价一致，简化多步估值过程。

- 估值对偶表示（4.7、4.8式）探索使用等价马氏测度族\(\mathcal{D}t\)实现风险价的表达，极大增强估值的理论实力与计算可实现性。

• 恒等式\(P{0}^{*}(hT) = \sup{Q \in \mathcal{Q}^e} EQ(hT)\)明确了推导出的风险中性估值价格和对冲成本之间的严格对应。

关键假设及其经济涵义：

• \(\rhot\)在可接受头寸集为非负随机变量的经典情况退化为资产价格的无风险套利限制。

- 风险度量的核心得到风险可接受门槛，以更灵活地容忍风险，对冲价格因此调整。

• 对偶测度族\(\mathcal{D}t\)与等价风险中性测度紧密相关，是现实定价和风险管理的理论锚点。

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五、风险因素评估

报告对风险因素的考虑集中于无套利条件的满足和风险度量本身的适用限制：

• 显著风险在于接受集的定义及其闭合、凸性的正确建立，否则无法保证风险对冲价格的稳定性和存在性。

- 对偶表征的风险在于标准概率测度代表性的丧失，尤其非负随机变量上的推广陷入实用困境（Example 4.7）。

• 若接受集允许较高的负概率事故（“小概率风险承受”），则风险对偶测度族变为空或退化，失去代表性。

- 市场波动过程及资产价格增量满足的风险度量正负对称性（SRN）是重要假设，否则无套利定义边界模糊，可能导致策略组合不合理。

• 递归多期设定风险在于策略可测性和动态一致性，风险度量不一致可能导致价格过程无法紧贴市场动态。

- 对偶测度存在的条件隐含对市场流动性和信息的假设，缺失可能导致定价无理论支撑。

作者通过对偶方法、集合拓扑和随机选择论证缓解了风险因素，严谨展示了风险度量金融市场理论在理想化市场和风险管理间的平衡。

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六、批判性视角与细微差别

• 本文创新显著，但依赖强假设（接受集闭合性、时间一致性风险度量），现实中难以严格验证和应用，尤其在非理想市场下的鲁棒性留待进一步研究。

- 风险度量从\(L^\infty\)推广至\(L^{0}\)面临测度紧性及数学技术难题，相关证明部分依赖较强的测度连续性和随机选择假设，实际金融市场中实证数据异常复杂，直接应用的效果需谨慎。

• 功能\(gt\)最小化及风险度量的正负对称假设（SRN）对市场均衡性质要求较强，可能与实际不对称信息和价格冲击发生冲突。

- 报告强调NA和NGD等价性，隐含风险度量为“弱紧族”风险中性测度，现实金融市场真实无风险套利情况更复杂，可能出现投机套利与风险容量动态变化现象。

• 对偶结果对\(L^0\)空间的推广仍处于理论假设层面，缺乏对现实交易数据异常和极端事件的严格验证，应用中结束条件可能较窄。

整体，报告构建严谨的数学体系，为风险度量定价提供重要理论基础，但桥接理论与实践应用的工作仍需深化。

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七、结论性综合

本文系统构建了一个基于动态风险度量\( ( \rhot ) \)定义的无套利金融资产定价理论框架，创新点在于：

• 通过风险度量替代“几乎必然非负”传统可接受财务头寸，拓展资产组合和头寸适应性。

- 定义并证明了适用该风险度量下的无套利（NA）条件，纳入对称风险中性（SRN）及即时利润条件（AIP），使风险度量定义下的无套利自然延续经典理论。

• 证明风险对冲价格集合在NA条件下闭合，最小风险对冲价格可被精确实现，理论上保障了定价的合理性及策略的可行性。

- 结合风险度量时间一致性，递归定义风险对冲价格与直接对冲价格等价，促进多期动态定价模型的统一。

• 通过对偶方法，扩展风险度量对偶表征至\(L^0\)空间；在理想接受集结构下存在以等价风险中性测度族\(\mathcal{D}_t\)为表达核心的风险度量表示，强化理论的解释力和计算潜力。

- 确立了基于风险度量的基金资产定价基本定理（FTAP），实现无套利与风险中性测度存在性之间的等价，扩展传统于现实风控场景的适用性。

• 明确了本框架下风险对冲价格的对偶表示公式，实际金融工具定价可参照该框架执行风险调整后的预期盈利。

本报告建立的理论体系表明风险度量和无套利精神可有机融合，未来可为金融衍生品定价和风险控制提供强数学支持。但受限于理论假设，实际应用需加深对模型稳健性的检验。

综上，本文是动态风险度量金融模型资产定价理论的重要贡献，强化了现代风险管理理念在资产定价领域的数学基础和应用桥梁。[page::0][page::1][page::2][page::3][page::4][page::5][page::6][page::7][page::8][page::9][page::10][page::11][page::12][page::13][page::14][page::15][page::16][page::17][page::18][page::19][page::20][page::21][page::22][page::23][page::24][page::25][page::26][page::27][page::28][page::29]

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注：

本分析严格基于提供文本内容，所有页码均已标注，确保引用的准确性和内容溯源性。

报告