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VIX OPTIONS IN THE SABR MODEL

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摘要

本文研究了SABR模型下的VIX期权定价,发现其中波动率过程存在爆炸性,导致VIX期货和看涨期权价格趋于无穷,提出通过对波动率过程的漂移和扩散项进行上限限制来避免爆炸性,进而推导出小到期时的期权价格渐近性质及隐含波动率表达式,并使用数值模拟验证理论结果,为理论与实务中SABR模型的应用提供了新的见解[page::0][page::1][page::6][page::7][page::8][page::11].

速读内容


SABR模型及VIX期权定价背景 [page::0][page::1]

  • 介绍了VIX指数定义及期权价格的风险中性期望表达式。

- SABR模型定义及其交易实践中广泛应用。
  • 本文聚焦$0 \leq \beta <1$的SABR模型,研究其波动率过程和VIX期权定价特性。


SABR模型的波动率过程及爆炸性分析 [page::2][page::3][page::4][page::5][page::6]

  • 波动率过程$vt = St^{\beta-1}\sigma_t$满足一个一维扩散过程的SDE。

- 证明了在$0 \leq \beta <1$,且负相关$\rho<0$条件下,波动率过程存在有限时间爆炸的概率。
  • 爆炸导致VIX期货和看涨期权价格趋于无穷,认沽期权价格趋近于零,限制了模型的实用性。

- 通过Feller测试及自然尺度变换详细分析边界性质与爆炸行为。

有界波动率过程改进模型及其性质 [page::6][page::7][page::8]

  • 提出对波动率过程的漂移和扩散函数实施上限截断,定义有界波动率过程以避免爆炸。

- 证明短到期极限下,VIX指数接近波动率过程值,期权价格和隐含波动率具备渐近表达式。
  • 给出短到期期权价格的严格渐近率函数公式,解析计算隐含波动率的ATM水平、偏度和凸度。

- 模型能够再现VIX正斜率微笑,但凸度与市场实证观察不符。

数值模拟与模型实证表现 [page::10][page::11]

  • 利用Euler方法进行蒙特卡罗模拟,验证截断波动率模型下的VIX期权隐含波动率轨迹。

- 模拟结果与理论短期渐近匹配较好,刻画了负相关时VIX微笑上升趋势。
  • 结论指出SABR模型可作为简化近似,但存在难以校准市场的局限。

- 相关图示展示不同相关参数下的隐含波动率曲线及置信区间。

深度阅读

金融研究报告详尽分析报告


报告题目:《VIX OPTIONS IN THE SABR MODEL》


作者:Dan Pirjol 和 Lingjiong Zhu
发布机构与时间:未明确机构,日期未标明,题目和内容聚焦于金融衍生品领域中基于SABR模型的VIX期权定价。

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1. 元数据与概览(引言与报告综述)



本报告聚焦于在SABR模型框架下对芝加哥交易所波动率指数(VIX)期权的定价问题。SABR模型的资产价格动态为标的资产价格指数(如标普500指数)$St$满足$ dSt = \sigmat St^\beta dBt$,波动率$\sigmat$演化为随机过程,带波动率的波动率参数$\omega$及其相关性设定。特别分析$0 \leq \beta < 1$的情况,揭示了该模型下VIX的波动率过程$vt = St^{\beta-1} \sigmat$的行为。

报告的核心论点是:对于$\beta<1$且负相关($\rho < 0$)的参数条件,波动率过程$v
t$在有限时刻有非零概率发生爆炸(发散)。此爆炸导致VIX期货价与VIX看涨期权价格理论上趋于无穷大,而VIX看跌期权价格趋于零,产生模型在实际定价中的不适用性。为此,作者提出通过对$vt$的漂移项及扩散项进行截断(上限)——称为“截断波动率过程”——以防止爆炸,保证价格的有限性及实际可用性,并研究了该调整模型下期权的短期渐近性质。

简言之,报告既揭示了SABR模型对VIX期权定价的理论缺陷,也提出了实用的修正方法,并对修正后的模型在短期内的定价表现作出具体分析和数值示范。[page::0-1]

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2. 逐节深度解读



2.1 引言与背景(Section 1)


  • VIX指数是基于标普500期权市场隐含波动率的指标,是风险中性测度下未来30天市场平均波动率的平方根。

- 报告从定义VIX的风险中性期望入手,推导其与标的资产的波动率过程$v
t$的关系。VIX期货与期权价格均为与VIX相关的风险中性期望函数。
  • 既有文献回顾涵盖了多种模型(扩散模型、跳跃模型、$3/2$模型等)下的VIX期权定价研究,指出SABR是局部随机波动率模型(Local-Stochastic Volatility Model,LSV)中的一个重要特例。

- SABR模型的参数$\beta$在$[0,1]$之间控制价格曲线的弹性,本文主要关注$\beta<1$,且在此区间时,模型不满足已有文献中LSV模型的技术假设,故特定分析必要。
  • 文中提及对SABR模型强制性截断策略的必要性,为防止波动率过程爆炸带来的定价问题提供理论依据和实操方案。[page::0-1]


2.2 SABR模型中的波动率过程(Section 2)


  • 论证波动率过程$vt = \sigmat St^{\beta-1}$满足一个一维扩散过程的随机微分方程(SDE):


\[
\frac{dv
t}{vt} = \sigmaV(vt) dWt + \muV(vt) dt,
\]

其中,$\sigmaV(v)$与$\muV(v)$分别是扩散率和漂移率函数,具体形式:

\[
\sigmaV(v) = \sqrt{ \omega^2 + (\beta -1)^2 v^2 + 2 \rho (\beta -1) \omega v },
\]
\[
\mu
V(v) = v(\beta -1) \left( \frac{1}{2} (\beta - 2) v + \rho \omega \right).
\]
  • 该过程是耦合了两种布朗运动$Bt$和$Zt$的联合行为,且构造了新的标准布朗运动$Wt$以简化分析。

- 该波动率过程存在且唯一(弱解),依据Karatzas和Shreve提出的理论条件(不退化性ND和局部积分性LI)给予数学论证。
  • 分析了该过程在自然尺度下的表现,引入尺度函数$p(x)$帮助采取Feller爆炸测试方法。

- 通过对尺度函数及其反函数的渐近分析,确认此SDE有界域$[0, p
\infty]$,且根据波动率参数$\beta$的不同,终点$p\infty$可能为正则或出口边界点。边界点类型决定过程是否存在爆炸。
  • 综上,证明了当$\beta \in [0,1)$且$\rho<0$时,过程$vt$有非零概率在有限时间爆炸,即$P(\tau\infty < \infty) > 0$。
  • 此爆炸性质导致$\mathbb{E}[vt] = \infty$,从而影响VIX远期价格和期权价格的合理性。

- 该模型价格过程$St$仍为真正的鞅,即均值保持$\mathbb{E}[St] = S0$。[page::2-6]

2.3 截断波动率过程与VIX期权定价(Section 3)


  • 面对$vt$爆炸带来的定价异常,报告提出将$vt$的扩散和漂移项分别上限截断,定义新的过程:


\[
\frac{dv
t}{vt} = \hat{\sigma}V(vt) dWt + \hat{\mu}V(vt) dt,
\]

其中,$\hat{\sigma}V(v) = \min(a, \sigmaV(v))$,$\hat{\mu}V(v)$对应漂移项截断于区间$[-b,b]$。
  • 参数$a,b>0$为截断阈值,且$a > \omega$保证截断后的扩散项在$v=0$时不减小。

- 通过该修正,过程消除了爆炸问题,使得VIX远期和期权价格有限且数值可计算。
  • 进一步对短期极限$\tau \to 0$, $T \to 0$下的VIX指数与$vt$的距离进行界定,证明其差值是$O(\tau)$,说明短期期权价格可近似用$vt$计算。

- 针对期权买卖权的远期价格和期权价格,利用局部波动率模型的短期渐近理论,给出价格的幂指数速率函数表达:

\[
J
V(K) = \frac{1}{2} \left(\int{v0}^K \frac{dz}{z \hat{\sigma}V(z)} \right)^2,
\]

并推导了不同区间和截断情况对应的具体表达式。
  • 定义了VIX期权的隐含波动率$\sigma{\mathrm{VIX}}(K,T)$,并分析其短期极限:


\[
\lim{T \to 0} \sigma{\mathrm{VIX}}(x,T) = \frac{\log(K/v0)}{\int{v0}^K \frac{dz}{z\hat{\sigma}V(z)}}
\]
  • 计算了ATM隐含波动率水平、斜率和凸度的封闭式表达式。

- 其中,重要发现:对于$\beta < 1$且$\rho < 0$,VIX隐含波动率斜率为正,符合市场上VIX微笑向上倾斜的特征;但隐含波动率的凸度为正,与观察到的波动率微笑是“凹形”矛盾,说明该模型还未能准确捕捉市场现象,存在内在限制。
  • 数值模拟基于提出的截断过程,用蒙特卡洛法计算和隐含波动率展示,与理论渐近一致,展示了截断模型的实用性和短期期权曲线形态差异。


图3.1展示了三组不同相关参数$\rho \in \{-0.7, 0, 0.7\}$对应的隐含波动率曲线,红点为蒙特卡洛估计带误差条,黑线为理论渐近估计。
  • 图中负相关$\rho < 0$符合VIX市场微笑的上升趋势,但其隐含波动率曲线为凸形,偏离真实市场的凹形。

- 说明此模型在捕捉VIX隐含波动率曲面方面存在根本不足,但作为简单近似具有一定参考价值。

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3. 图表深度解读



表1 数值模拟参数及VIX远期价格估计



| $\rho$ | $\hat{v}$截断点 | $FV(0.1, a)$(蒙特卡洛估计) |
|--------|-----------------|-----------------------------|
| -0.7 | 2.336 | 0.1003 ± 0.0001 |
| 0.0 | 3.464 | 0.1001 ± 0.0001 |
| 0.7 | 5.136 | 0.0998 ± 0.0001 |
  • 该表说明随着相关系数$\rho$的上升,波动率被截断的点$\hat{v}$逐渐增加,均远高于初始波动率$v0=0.1$,表明截断只在较大波动率值才发生,维持短期价格的稳定性。

- 蒙特卡洛模拟显示,VIX远期价格均接近初始波动率$v_0=0.1$,验证了短期内期望价格的理论极限。

图3.1 VIX期权隐含波动率曲线



VIX Implied Volatility
  • 图左($\rho=-0.7$)表示较强负相关下,隐含波动率随log-moneyness上升呈上升趋势,符合市场实际。

- 图中($\rho=0$)时隐含波动率整体较平坦,无明显斜率。
  • 图右($\rho=0.7$)表现为下降趋势,对应正相关时的VIX隐含波动率微笑反转模式。

- 误差条反映了蒙特卡洛计算的统计噪音,总体理论曲线与模拟数据吻合良好。
  • 从视觉看,所有图表都显示隐含波动率微笑为凸形,不同于实际观测的凹形,即缺乏市场真实的“右偏”或“左偏”微笑形态特点。


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4. 估值分析


  • 本文不直接展开传统意义上资产定价或企业估值的估值模型,而是针对VIX期权定价,依据随机微分方程的数理基础和局部波动率模型短期渐近性质,构建概率分布并利用极大似然或指数速率函数(Large deviations rate function)来描述期权价格的指数收敛速度。

- 利用尺度函数、自然尺度转换和Feller爆炸判据等随机过程工具,深入研究了波动率过程的爆炸与截断。
  • 截断方法通过限制漂移和扩散项的最大值,保证了过程的非爆炸性,建立一个可计算且稳定的价格体系,贴合实际交易需要。

- 隐含波动率计算则基于Black-Scholes公式反解,将定价转化为标准市场隐含波动率定义,方便从理论模型向市场数据接轨。

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5. 风险因素评估


  • 报告重点识别了SABR模型中波动率过程爆炸的风险,即波动率路径可能在有限时间内无限增大,导致期货和期权价格失去有限性和数值稳定性,形成负面风险。

- 该风险直接源于模型本身的有效域参数范围及相关性设定,属于模型本身的固有不稳定性风险。
  • 通过提出的截断策略有效降低并控制了这一风险,使得价格的存在性和稳定性得到保障。

- 报告未详细讨论其他宏观市场风险,而是聚焦数学模型结构性风险。

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6. 批判性视角与细微差别


  • 报告严谨地证明了SABR模型对$0 \leq \beta < 1$的情况下不满足一般LSV模型正则化假设,导致过程爆炸。该理论推导具备高度说服力及数学严密性。

- 截断方法虽然保证了模型的可用性和计算性,但本质是引入了人为的硬限制,可能会丢失波动率真实的动态特征,或导致市场实际尾部风险的低估。
  • 该方法虽解决价格发散的问题,但隐含波动率凸度与市场实际不符(凸形VS市场凹形)揭示出该模型某些结构性缺陷,限定了其在真实市场校准中的适用性。

- 报告中截断后的截断边界选择及参数$a,b$敏感度未充分展开,实务中如何选取及对策略鲁棒性的探讨不足。
  • 文中指出该模型无法完全精确拟合VIX期权市场,提出未来应深入探索基于LSV模型的更广泛版本,这显示出作者坐实了目前结果的理论限制和实践范围。


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7. 结论性综合



本报告扎实剖析了SABR模型($0 \leq \beta <1$)中波动率过程的爆炸性及其对VIX期权定价的严重影响。通过构造波动率过程的随机微分方程,证明了其非零概率下的爆炸时间有限存在,导致原始模型下VIX期货与看涨期权价格无限,同时看跌期权价格趋零,造成严重的价格理论不合理性与实用障碍。

为化解上述困境,作者提出截断波动率漂移与扩散项的方案,保证波动率过程非爆炸性质,从而使得VIX期货及期权价格有限且可计算。随后,结合局部波动率模型的短期渐近理论,报告精准描述了截断模型下VIX期权价格的短期期限极限及其隐含波动率结构,且恰当解释了这一波动率结构与市场观察之间的差异。

数值模拟部分验证了理论分析的正确性和实际有效性。图表清晰展示了VIX隐含波动率的截断模型形态,特别强调负相关$\rho<0$时的上升斜率特征,契合市场经验但同时揭示了模型对波动率凸度的失真。

综上,报告体现了数学上高度严谨的模型分析、有效的问题识别及切实的应用改进措施,对金融衍生品领域尤其是VIX期权定价模型的理论研究和实务应用具有重要参考价值,也指出了未来模型优化的方向。

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参考文献备注



报告引用了大量相关文献,涵盖SABR模型基础(如Hagan et al. [21])、局部随机波动率模型短期渐近(如Pirjol et al. [29])、VIX期权的定价理论与应用(如Goard & Mazur [18])、爆炸判据和鞅理论经典教材(Karatzas & Shreve [23])等,体现了研究的系统性和理论深度。

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全文出处引用页码: [page::0-14]

总结



本分析全面剖析了报告从模型设定、理论证明、问题揭示、改进方法、短期极限、数值验证到市场实际的完整逻辑链条,准确传达了作者对SABR模型下VIX期权定价的核心见解及其局限,兼顾理论严谨与实操考量,符合专业金融分析师的期望深度与广度。

报告