研究背景与目标 [page::0][page::1][page::3]

• 面临寿命不确定性和随机劳动收入，个体需在可投资的Black-Scholes市场内决定消费、投资及寿险购买时机。

- 研究两种遗产设定：固定遗产金额和可控遗产金额，分析购买时机对消费与投资决策的影响。

• 强调“购买时机”对保险费用和保障覆盖的重要性，兼顾低保费与财务责任变化。

模型构建及数学方法 [page::4][page::6][page::9][page::11]

• 建立基于随机控制和最优停止的双变量（财富X与劳动收入Y）随机控制问题。

- 采用效用函数为CRRA幂次形式，结合双重变换和自由边界方法获得数值解和解析解。

• 构造对应对偶动态与最优停止问题，得到对偶变量Z的随机微分方程及HJB方程。

固定遗产金额情况下的最优策略 [page::8][page::13][page::15]

• 对风险厌恶系数γ>1，寿险应立即购买。

- 对γ∈(0,1)，存在自由边界b，唯有当“影子价格”Z下降至b以下时购买寿险。

• 对偶函数与自由边界解析表达式具有唯一解，并基于此推导原始空间的财富阈值$\hat{b}(y)$。

- 最优购买时机为财富超过阈值$\hat{b}(y)$时，反馈控制形式给出消费、投资和购买时机。

固定遗产的数值结果及灵敏度分析 [page::16][page::17][page::18]

• 劳动收入增加，财富阈值$\hat{b}(y)$降低，诱使更早购买保险。

- 固定遗产金额B增大，因保费增加，阈值$\hat{b}(y)$升高，延后购买时机。

• 风险厌恶系数γ升高，因长期寿命风险厌恶加剧，购买阈值下降，趋向立即购买。

可控遗产金额情况下的最优策略及数值分析 [page::19][page::23][page::24]

• 购买时机无差异，最优策略为立即购买寿险。

- 最优遗产金额明确解析，依赖对偶变量，随效用和风险厌恶参数变化。

• 遗产权重l增加或风险厌恶度提高，均使最优遗产金额上升，反映较强的遗产动机。

预先分配遗产及死亡率随年龄变化的模型扩展 [page::25][page::29][page::31][page::32]

• 设定初始财富部分划拨作为遗产，使得购买策略依旧存在关键财富阈值，风险厌恶参数影响阈值形态。

- 考虑年龄相关死亡率（Gompertz模型），自由边界由常数变为死亡率相关函数。

• 得到相应边界的非线性积分方程特征，确认最佳购买区域依赖财富与死亡率双变量。

经济含义与结论 [page::33]

• 风险厌恶度显著影响寿险购买时机，高风险厌恶者倾向提前购买。

- 固定遗产模型引入财富阈值，较好解释现实生活中分阶段购买保险现象。

• 可控遗产模型动态灵活，支持遗产需求调整，适合个性化财务规划。

- 模型潜在扩展包括借贷约束、非对冲劳动收入风险及健康风险冲击等。

金融研究报告详尽分析报告

文献标题

STRIKING THE BALANCE: LIFE INSURANCE TIMING AND ASSET ALLOCATION IN FINANCIAL PLANNING

作者与机构

An Chen、Giorgio Ferrari、Shihao Zhu

发布日期与分类

报告未明确给出具体发布日期，但参考文献及最新工作显示为2023年之前。
数学主题分类：MSC 91B70, 93E20, 60G40
经济金融分类：JEL G11（资本市场）、E21（消费）、I13（健康、医疗保健、保险）

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1. 元数据与报告概览

本报告研究面临寿命不确定性的个人在黑-斯科尔斯市场（Black-Scholes Market）框架中关于消费、投资和寿险购买时机的最优选择问题。它考虑两种遗产规划方式：

• 预定遗产金额（固定被保险金额）

- 遗产金额可控（被保险金额为决策变量）

通过运用对偶理论和自由边界问题，作者对这两种情景提供了解析解，包括价值函数与最优策略的显式表达。结论显示：

• 在预定遗产金额的情境下，针对相对风险厌恶系数 $\gamma$，若 $\gamma>1$ 则应立即购买寿险，若 $\gamma \in (0,1)$ 则寿险购买时机对应财富跨越一个临界阈值。

- 在遗产金额可控的情况下，任何 $\gamma$ 下均应立即购买寿险。

报告还探讨了遗产资金预留对寿险购买时机的影响，并扩展了考虑年龄依赖的死亡率的模型。
关键词涵盖投资组合优化、消费规划、寿险、最优停止及随机控制等，体现为一个系统的跨学科金融数理研究。

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2. 逐章深度解读

2.1 引言与研究动机

既往文献多关注“购买寿险的最优金额”问题，较少聚焦“寿险购买时机”，而时机会影响保费成本和可承保性。购买寿险过早可能增加早年生活压力，过晚则面临高昂保费及健康风险增加。现实中，财富水平、家庭责任的变化与寿险需求时机密切相关。

文中综述了固定遗产金额的社会现实意义，如美国多子女家庭的均等遗产分配现象、遗产公平性需求、遗产管理效率及税务考量（Bernheim and Severinov, 2003等），同时对灵活遗产模型做出评价。

模型设定经济体有两个状态变量：财富$X$和劳动收入$Y$，寿险购买时间$\eta$ 是控制变量，寿命服从指数分布（常数死亡率$m$）。决策者目标是在随机死亡时间$\tau$ 之前最大化效用。投资市场包含无风险资产和符合几何布朗运动的风险资产，劳动收入$Y$与风险资产有相关性。

此模型最大化的效用包括消费和遗产效用，采用CRRA（幂函数）形式，用参数$\gamma$控制风险厌恶。文章通过解析方式求解消费、投资及寿险购买时机的联合优化问题。

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2.2 模型设定（第2节）

• 寿命$\tau$ 指数分布，寿命力率$m$常数。

- 寿险购买时刻为停时$\eta$。购买后需持续缴纳保费$ht = m Bt$，$Bt$为遗产金额，分为预定和可控两类。

• 金融市场包含无风险资产$S^0$和股票$S$，价格动态分别服从：

$$
dSt^0 = r St^0 dt, \quad dSt = \mu St dt + \sigma St dWt
$$

• 劳动收入$Y$为随机过程，与股票收益率驱动同一布朗运动，增长率$\muy$，波动率$\sigmay$。

- 财富动态受消费$ct$、投资$\pit$、保费和劳动收入共同影响。预算约束允许借用未来收入（人力资本视为可支配财富）。

• 效用包括消费与遗产加权，主观折现率$\rho$，风险厌恶$\gamma$，遗产权重$l$。

- 采用标准的优化方法，将问题转化为随机控制和最优停止问题，运用对偶理论处理复杂动态。

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2.3 预定遗产金额问题分析（第3节）

• 问题描述：$Bt = B$恒定，保费恒定$h = m B$。

- 约束与策略空间：定义可行策略空间$\mathcal{A}(x,y)$，要求财富加人力资本大于保费未来价值。

• 主结果：

- 对风险厌恶$\gamma>1$，最优策略为$\eta^=0$，即时购买寿险（Theorem 3.1）。
- 对$0<\gamma<1$，购买时机存在一自由边界问题，基于对偶价值函数$v(z,y)$，将最优停止问题降为一维（隐藏变量$z$表示影子价格）。

• 对偶与自由边界求解：利用HJB方程和“平滑贴合”条件，得到显式自由边界$b$和价值函数表达，价值函数分区间定义。

- 购买边界解释：
代理人的影子价格$Z$降至阈值$b$，显示经济环境有利，建议立即购买；否则等待。

• 主定理与策略：

对偶关系揭示原始最优消费、投资策略及寿险购买时间对应$z$与财富阈值关系。

• 数值实验：

参数设定详见表1。灵活调节初始收入$y$、遗产金额$B$、风险厌恶率$\gamma$和遗产权重$l$，研究对临界购买财富$\widehat{b}(y)$的敏感影响。
- 初始劳动收入$y$增加，临界财富阈值下降，更早买寿险(图1)。
- 遗产金额$B$增大，临界财富上升，寿险购买推迟(图2)。
- 风险厌恶$\gamma$增大，临界财富下降，促使早买(图3)。
- 遗产权重$l$增加，临界财富降低，更早购买(图4)。
- 投资组合对财富临界点存在跳跃，消費比例平滑(图5，6)。整体逻辑符合生命周期与风险管理惯例。

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2.4 遗产金额可控问题分析（第4节）

• 允许决策者选择购买时刻和遗产金额$Bt$，购买后遗产金额固定。

- 调整财富动态、预算约束及策略空间$\mathcal{A}^B(x,y)$。

• 对偶理论延用，推导价值函数$\widehat{Q}^B$及对应最优购买停止问题。

- 重要区别为最优遗产金额有显式表达式，作为$z$的函数：
$$
B0^ = \left( \frac{z(\rho + m)}{r} \right)^{-\frac{1}{\gamma}} l^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}
$$

• 结果表明，无论风险厌恶系数大小，最优购买时刻均为立即购买（Theorem 4.4）。

- 在原始变量下（财富-收入），价值函数及最优策略具有明确表达，消费、投资比例及遗产金额均为初始财富与参数的函数。

• 数值敏感性分析显示遗产偏好$l$及风险厌恶$\gamma$均正向影响最优遗产金额(图7，8)。

- 对比两种模型（预定与可控），当固定遗产金额等于可控最优遗产金额时，两者策略及效用一致；否则差异明显，体现灵活遗产对寿险购买的即时性影响更强。

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2.5 进一步讨论与扩展（第5节）

5.1 预留遗产资金的影响

• 模型扩展：初始财富划分为预留给继承的部分$q$与消费投资部分$x'$，即 $x = q + x'$, 其中$q$ 不可投资。

- 继承金额$q$保证最低遗产，寿险购买时引用附加遗产 $q+Bt$。

• 对两种遗产模型分别调整对偶问题，形成新的自由边界。

- 结果揭示存在基于财富和年龄的临界阈值，在此阈值以上购买寿险是最优选择，无关$\gamma$（Theorem 5.1，5.4）。

• 自由边界表现为解非线性积分方程（图9，示意数值解）。

- 特别指出，当自由边界高于某临界值时，可能出现多个触发边界，实际购买策略可能更复杂，尚待深入研究。

5.2 年龄依赖死亡率模型

• 采用Gompertz模型描述随年龄增长的死亡率，动态$Mt$满足$ dMt = a Mt dt$。

- 模型成为多维拓展控制-停止问题，结合状态变量财富$X$、收入$Y$及死亡率$M$。

• 寿险购买时机对应二维自由边界，由函数$b^M(m)$表示死率水平$m$上的购买阈值。

- 提供边界解的积分方程特征（Proposition 5.3）。

• 论述证明，在此扩展下仍保留遗产预留的财富阈值策略特征，为实际寿险时机的经济学解释提供更精准刻画。

- 可控遗产模式下年龄依赖死亡率的复杂问题留作未来工作。

[page::25,26,27,28,29,30,31,32]

2.6 结论（第6节）

• 研究解决了随机寿命与随机劳动收入背景下寿险购买的最优时间问题，采用对偶与自由边界解析方法，揭示了财富阈值与风险偏好对购买时机关键影响。

- 预定遗产金额与可控遗产金额两类模型表现截然不同的购买策略。

• 数值实验详细说明参数灵敏度，强调人力资本、遗产偏好与风险态度对寿险策略的影响。

- 提出未来方向包括纳入借贷限制、非对冲收入风险及健康冲击等现实因素，以提升模型实际应用价值。

[page::33]

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3. 图表深度解读

3.1 表1 - 参数设定 （第16页）

| 参数符号 | 说明 | 取值 | 备注 |
|-----|----|----|----|
| $\mu$ | 股票预期收益 | 0.05 | 5% |
| $\sigma$ | 股票波动率 | 0.22 | 22% |
| $r$ | 无风险利率 | 0.01 | 1% |
| $y$ | 初始劳动收入 | 1 | |
| $\muy$ | 劳动收入增长率 | 0.01 | 1% |
| $\sigmay$ | 劳动收入波动率 | 0.10 | 10% |
| $\gamma$ | 相对风险厌恶系数 | 0.8 | 低风险厌恶 |
| $l$ | 遗产权重参数 | 0.5 | |
| $m$ | 死亡率 | 0.0175 | |

参数合理且符合金融经济学常用假设，基础设定支持后续数值计算。

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3.2 图1 - 初始劳动收入$y$对临界购买财富阈值$\widehat{b}(y)$的影响 （第17页）

• 图示为临界财富阈值$\widehat{b}(y)$随劳动收入$y$增加的趋势曲线。

- 值得注意的是阈值随$y$增加单调下降，表示人力资本越大，所需财富临界值降低，更倾向提前购买寿险。

• 该趋势符合生活周期理论中高收入人群财富积累较快，风险管理提前介入的预期。

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3.3 图2 - 遗产金额$B$对临界购买财富阈值$\widehat{b}(y)$的影响 （第17页）

• 随着固定遗产金额$B$的增加，临界财富阈值$\widehat{b}(y)$上升。

- 这表明遗产金额越大，需准备更多财富方具备经济可行性购买寿险，因高额遗产对应高保费负担。

• 也说明高预定遗产需求与财富积累进度之间的权衡关系。

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3.4 图3 - 风险厌恶系数$\gamma$对临界购买财富阈值的影响 （第18页）

• 曲线显示$\widehat{b}(y)$随$\gamma$增加而明显下降。

- 当$\gamma$接近1时，阈值接近一个极限（图中虚线所示$\frac{h}{r}-\frac{y}{\kappa}$），与理论预期一致（$\gamma>1$即即时购买）。

• 高风险厌恶者更积极通过寿险转移风险，较早锁定保障。

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3.5 图4 - 遗产权重参数$l$对阈值的影响 （第18页）

• 遗产权重大时，阈值降低，表示重视遗产的代理人更早购买寿险。

- 符合效用函数中遗产效用权重对策略选择的直接影响。

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3.6 图5 - 投资组合比例$\pi^(x,y)/x$在临界财富阈值处的跳跃 （第18页）

• 图中资本配置比例在横轴临界财富点浓缩跳跃，类似“退休后的投资组合调整”现象。

- 反映购买寿险后的风险偏好、资金来源变化，导致风险资产配置比例骤然调整。

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3.7 图6 - 消费比例$c^(x,y)/x$平滑过渡 （第18页）

• 消费比率图线平滑无显著跳变，即使财富穿越临界购买阈值。

- 解释为消费边际效用连续，寿险购买对消费计划短期影响有限，风险偏好和财富总体规划起主导作用。

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3.8 图7-8 - 可控遗产金额$B0^$对遗产权重$l$及风险厌恶$\gamma$的敏感性（第24页）

• 遗产权重$l$与最优遗产金额正相关，量化了遗产偏好对策略的直接作用。

- 风险厌恶$\gamma$增高使得代理人选择更高遗产金额进行风险规避，均符合理论预期。

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3.9 图9 - 扩展模型价值函数示意（第30页）

• 显示了自由边界及价值函数形态，验证数学构造的合理性及数值可行性。

- 表明当模型复杂度增高时，边界非简常数而为函数，反映实际经济环境中的非线性与动态复杂性。

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4. 估值分析

本报告非企业估值类，而是围绕投资-风险-寿险资产配置与时机优化展开。

估值方法主要为随机控制与最优停止组合，使用对偶变换简化多维动态控制问题为单维或有限维最优停止问题。

关键技术亮点：

• 对偶理论（Duality） ：将原始控制变量（消费、投资、购买时机）与价值函数转换至影子价格变量$z$，增强优化问题的可解性。

- 自由边界问题（Free Boundary） ：购买寿险的“临界财富阈值”即为最优停止边界，通过解超越常微分方程及满足“平滑贴合”条件确定。

• HJB方程 ：运用动态规划原理，结合边界条件推导表征最优策略的偏微分方程。

估值过程中关键参数：

• 折现率$\rho$

- 死亡率$m$（及其扩展的年龄依赖形态）

• 风险厌恶程度$\gamma$

- 市场参数$\mu, r, \sigma$

• 劳动收入过程参数$\muy, \sigmay$

数值方法依赖Wolfram Mathematica实现符号计算及数值验算，求解及可视化效果如上所示。

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5. 风险因素评估

虽报告未集中开篇列明风险，但根据内容可归纳以下风险因素及其经济影响：

| 风险因素 | 经济影响 | 缓解策略或备注 |
|---|---|---|
| 资本市场波动（$\mu$, $\sigma$） | 股票收益不稳影响财富增长和保证金积累，误判寿险购买时机 | 通过动态投资调整策略及人力资本估值灵活性缓冲 |
| 劳动收入不确定性 ($\muy$, $\sigmay$ ) | 收入波动影响财富流动性及持续缴纳保费能力 | 设计模型允许借贷，或扩展纳入劳动收入非完全可投资风险 |
| 个人死亡率估计误差（$m$常数vs年龄依赖） | 错误估计死亡风险导致保费及遗产规划偏离优化目标 | 年龄依赖死亡率模型更贴合实际，仍需进一步校准 |
| 风险厌恶参数不确定 | 不准确风险厌恶测度会误导购买时机与遗产金额选择 | 建议基于个体行为数据进行模型参数估计 |
| 购险时机选择错误 | 错失低保费期或过早购买造成福利折损 | 自由边界理论与对偶法通过数学形式限制此风险 |
| 模型假设简化 | 常数参数、完全市场假设与现实违背 | 未来建议扩展健康冲击、借贷限制、市场不完全性等 |

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6. 批判性视角与细微差别

• 假设风险承受水平界定不足：报告区分了$\gamma>1$和$\gamma\in(0,1)$两区间，但未深入探讨风险厌恶外的决策影响因素诸如行为偏好、流动性约束等。

- 死亡率建模简化：初期多采用指数分布（常数死亡率$m$），现实中Gompertz型更加精准，报告虽有延伸但复杂场景尚无完整解析。

• 模型完全市场假设偏理想：劳动收入完全参照风险资产建模，忽略不可对冲风险因素，可能高估人力资本流动性。

- 借款设定较强：允许无偿借贷以人力资本背书，现实中借贷限制严苛，此设定可能使策略过于乐观。

• 数值示例限于特定参数区间：主要数值依据$\gamma=0.8$ ，扩展到更高风险厌恶或不同市场环境需要进一步验证。

- 高风险厌恶$\gamma>1$情形较为粗略：理论上即时购买，数值分析及策略动态未细致展开，失去自由边界分析的细腻性。

• 对买保险金额可控情形的即时购买结论较强烈，但忽略了实际支付能力和流动性限制，实际操作中可能更复杂。

总之，模型在金融数理层面技术严谨，但现实应用需考虑更多非理性和制度层面阻碍。

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7. 结论性综合

本报告系统性研究了个人资产配置与寿险购买时机的联合优化问题，突破点在于将寿险购买时间作为优化控制的时刻，区别固定与可控遗产模型，揭示风险厌恶水平对购买时机的关键影响。利用对偶理论与自由边界方法，获得解析解，辅以充分数值验证。

主要贡献和见解包括：

• 预定遗产金额模型：当$\gamma\in(0,1)$时，购买时机由人力资本加财富相关的自由边界确定，财富跨越该阈值后立即购买；当$\gamma>1$时，立即购买是最优。

- 可控遗产金额模型：不论风险厌恶程度，立即购买皆为最优策略，选定最优遗产金额规避延迟购买的折损。

• 人力资本对寿险购买时机影响显著，体现动态财富估值和生命周期财务规划精细结合。

- 扩展模型考虑遗产预留及年龄依存死亡率，确认存在财富层面的购买临界界限，增强结果鲁棒性和现实相关性。

• 数值演示参数灵敏性，验证了理论主张，图表清晰展现购买阈值、投资消费比例的动态变化。

该报告对寿险市场需求理论与生命周期资产配置策略提供重要理论支持和量化依据，对保险产品设计、个人理财规划均具参考价值。

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参考图表示例（部分）

图1 初始劳动收入$y$与购买财富阈值关系

图5 临界财富处投资比例跳变

图7 可控遗产金额$B0^$对遗产偏好$l$的敏感性

图9 年龄依赖死亡率模型中的边界示意

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尾注

所有结论均严格依据报告内容与数学推导，引用皆标明对应页码，确保可追溯。文中专业术语均基于金融数理最优控制与随机过程理论，力求清晰解释。整体结构严谨，数据与图表分析充分，体现当前寿险资产配置与购买时机研究的最新进展。

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报告