• 闭式解析解介绍及优势 [page::0][page::1]

- 研究了多资产( $N>2$ )几何平均市场制造商池的最优套利交易，提出基于拉格朗日乘子法推导的闭式表达式，替代传统的数值凸优化方法。
- 该方法计算复杂度固定，适合资产数量$N\lessapprox7$的池，能更快给出最优套利交易，且适用手续费存在的情况。

• 交易签名(trade signature)枚举与启发式算法 [page::2]

- 通过交易签名向量$s\in\{-1,0,1\}^N$表示每个代币是买入、卖出还是不交易，计算所有满足至少买入和卖出代币的有效签名$s$，数量约为$<80\%$的$3^N$。
- 提供一个启发式方法，基于无手续费报价价与市场价格的比值矩阵，快速推断交易签名，降低计算复杂度。

• 计算性能与模拟效果对比 [page::3][page::4]

- 对比了该闭式解方法与使用CVXPY的凸优化在不同资产数量$N$时的运行时间，闭式解在CPU场景下于$N\leq7$表现更快，且基于GPU的并行计算进一步提升速度，明显优于凸优化。



- 模拟120,000次市场价格扰动，闭式解算法在各种$N$值下均能找到更高的套利收益率，平均套利收益比凸优化高20%-45%不等。

• 多套利者竞赛模型及实证表现 [page::4]

- 多个独立套利者模拟时，由于无竞争机制，表现较差的凸优化套利者由于晚行动可收获更大利润，体现了套利机会堆积效应。
- 引入竞争模型后，闭式解算法逆转优势，显著超越凸优化，实现更快且更稳定的利润累积。

• 应用场景与未来展望 [page::5][page::6]

- 技术适用于链上多资产AMM套利机器人，支持在同一交易内通过访问池当前状态自动构造交易，大幅降低运算和时间成本。
- 可与 Temporal-function Market Making (TFMM) 与放大流动性机制结合，方便梯度计算和机器学习推导，推动AMM策略训练和智能交易路由器研发。

详尽金融研究报告解读与分析

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1. 元数据与概览

• 报告标题：Closed-form solutions for generic $N$-token AMM arbitrage

- 作者：Matthew Willetts 和 Christian Harrington

• 发布机构：QuantAMM.fi

- 发布日期：2024年2月

• 主题范围：自动做市商(AMM)中的多资产套利，尤其是基于几何均值市场做市商（G3M）模型的$N$-token池的套利优化问题。

核心论点与主要信息：

本报告致力于推导$N$资产的几何均值自动做市商池（尤其针对带手续费的情形）中最佳套利交易的闭式解析解。现有做法多依赖凸优化方法，但报告指出闭式解不仅能更快捕捉到套利机会（具有更低计算成本且适于GPU并行加速），还能生成更准确、更及时的套利策略。此外，该方法支持多资产池，适合复杂的DeFi交易环境，有望推动链上多资产套利机器人和路由器的效率提升。

相较于传统数值凸优化方法，闭式解方法具有速度优势和理论分析上的便利，尤其适用于Temporal-function Market Making（TFMM）等更复杂权重动态变化的模型。报告通过大量模拟实验验证了其方法的优越性。

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2. 逐节深度解读

2.1 摘要部分

• 报告认识到传统基于凸优化的多资产套利计算面临计算量大、响应速度慢的问题；

- 阐述并提出多资产几何均值池套利的解析闭式解，展示该方法在实测的模拟实验中表现优于凸优化，且方法本身极易并行计算，非常适合GPU加速，降低链上应用门槛。

这一部分强调了解析解的数学与计算优势，提出该方法不仅理论完备，还有实践价值，并可推动DeFi技术创新。

2.2 介绍（Section 1）

• AMM作为DeFi核心基础设施，通过流动性池提供代币交易，定价机制随着池中代币储备变化而实时反应市场价格；

- 经验丰富的套利者会通过套利交易促使AMM价格回归市场均衡；

• 本文关注多资产($N > 2$)几何均值市场做市商，寻求最优套利交易组合，而非简单单一路径的代币交换；

- 现有解法多依赖凸优化数值方法，本文转向闭式解析推导，以期获得更高效和更具理论深度的解决方案。

2.3 多资产最优交易含手续费模型（Section 2）

• 定义交易变量：$N$种代币交易额向池（$\Delta$）与从池取出（$\Lambda$）的向量，二者互斥($\Deltai \cdot \Lambdai=0$)；

- 手续费记作$(1-\gamma)$，使得交易后的池权重几何均值保持常数以上：

$$
\prod{i=1}^N (Ri + \gamma \Deltai - \Lambdai)^{wi} \geq k
$$

• 令$\Phi = \Delta - \Lambda$，合并交易正反向行为；定义“交易签名”向量$s \in \{-1,0,1\}^N$表示代币的交易方向（加池、没动、减池），并针对$s$对应非零交易代币子集$\mathcal{A}$对权重归一化为$\breve{w}i$；

- 建立拉格朗日函数$\mathcal{L}$结合利润目标及几何均值约束，推导关于$\Phii$的最优性条件，得到一个关于拉格朗日乘子的方程组描述交易的最优解[page::1]。

这一部分理论上讲清楚了含手续费情况下，如何对多资产交易量向量求解最优套利方案，核心在于通过交易签名消除繁杂约束，并统一为Lagrange优化问题。

2.4 闭式解的具体表达（Section 2 continuation）

• 结合之前推导，将凸优化问题化简成单一参数$\check{k}$与权重归一化后的第二次幂幂乘积表达式，最后得出直接计算各代币最优交易量$\Phii$的闭式表达式：

$$
\Phii = \gamma^{-di} \left( \check{k} \left(\frac{\check{w}i \gamma^{di}}{m{p,i}} \right)^{1-\check{w}i} \prod{j \neq i} \left( \frac{m{p,j}}{\check{w}j \gamma^{dj}} \right)^{\check{w}j} - Ri \right)
$$

• 其中，$m{p,i}$为市场价格，$\gamma^{di}$对应手续费调整，$R_i$为池中储备，$\check{k}$为加权储备几何均值；

- 通过交易签名，推导绕开传统KKT条件限制，达到闭式解析解。

• 该表达式适用于含手续费完整模型，零手续费情形下推导更简洁；

- 因为必须先知道交易签名$s$，报告提出可遍历所有可能$s$，算法高度并行，最大搜索空间为$3^N$，但因约束有效签名远少于全组合，实际搜索效率更佳；

• 其中小池（$N<6$）有效签名数量比例低于80%，比例随$N$增大趋近于1（见图1）[page::2]。

此部分完整说明了闭式解表达式及其参数含义、模型适用范围与计算策略，为多资产套利提供了理论闭环。

2.5 实验模拟结果（Section 3）

• 运行时间比较（3.1）：

- 利用Python环境，凸优化（CVXPY）与闭式解实现（JAX CPU和JAX GPU）比较，项目在MacBook Air M2和GPU工作站上测试；
- 如图2，凸优化计算时间随资产数$N$缓慢增加，而闭式解CPU计算时间随$N$指数增长（主要因签名组合枚举），GPU版闭式解则因极强并行性，效率显著领先，在$N < 12$内均显著优于凸优化；
- 尽管理论上凸优化对高$N$具有更好数值复杂度，实际中$N$极大很罕见，同时GPU并行优势值得关注。

• 套利效果对比（3.2）：

- 基于随机扰动模拟市场价格，构造远离无套利区域的价格，测试两种方法发现最佳套利机会的性能；
- 进行12万次随机回合，大多数实验中闭式解方法获得超过凸优化的套利收益（图3显示收益比例大多数超过零，尤其在$N=4,6,7$时收益优势显著，最高超40%）；

• 多套利者竞争（3.3）：

- 模拟两个独立算法对同一池的连续套利交易；反常发现：策略较“简单”的算法收益反而较优，原因在于“不够及时”的套利算法令套利空间积累更充分，最后获得更多利润；
- 真实场景中套利者会竞争，应让算法并行竞争更公平；
- 历史数据回测（2021-2022年6月至7月）基于ETH, BTC, DAI，$N=3$，权重均匀，手续费$\gamma=0.003$，闭式解方法的累计收益显著优于凸优化方法（图4）[page::3][page::4]。

模拟结果验证闭式解不仅计算效率高，更重要的是在实际套利策略上表现更优，且具备实战潜力。

2.6 结论（Section 4）

• 报告总结：提出了适用于$N$资产池的几何均值AMM套利闭式表达式，并通过实验验证其较凸优化优势明显；

- 该方法天然支持GPU并行加速，可供机器学习训练与模拟应用；

• 具备较低计算成本的特点对链上多资产套利机器人及DEX订单路由器策略显著有益；

- 未来通过智能缓存、状态检测等方法，可进一步降低链上实现的算力成本；

• 报告提出该闭式解是突破性的新技术途径，值得深入研究并应用推广[page::5]。

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3. 图表深度解读

图1：有效交易签名数量占比

• 描述：显示对池大小$N$，有效交易签名数相较于全$3^N$组合的比率。

- 解读：
- $N=2$时有效签名大约占20%；
- 随着$N$增长该比例迅速提高，于$N=12$左右逼近接近100%；
- 说明实际选择空间逐渐扩大，但不少组合因约束（至少要有一个买入一个卖出标的）被过滤。

• 联系文本：对应Section 2.1讨论签名数目及其对计算复杂度的影响，强调快速枚举可行的签名组合是运算瓶颈。[page::2]

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图2：不同方法计算最优套利时间

• 描述：对比标准凸优化器(CVX ECOS)与闭式解决方案(JAX实现)在CPU及GPU上的计算时间，$N$范围3-12，y轴为对数时间(s)。

- 解读：
- 凸优化时间较平稳，略随$N$增加上涨；
- 闭式解CPU版本计算时间随$N$快速上升，反映$3^N$签名遍历开销；
- 闭式解GPU版本呈现极强并行性，计算成本远低于凸优化至$N=12$；
- 表明GPU并行实现单位时间成本可控，推动实用化。

• 联系文本：佐证闭式解并行优势及GPU加速潜力，特别适合未来DeFi环境中的复杂套利计算[page::3]

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图3：闭式解套利收益相较凸优化的收益比

• 描述：条形图，y轴表示闭式解收益相较凸优化的收益的比例。x轴为资产数$N$。

- 解读：
- 多数$N$的收益比例为正，说明闭式解在找到套利机会的表现上普遍优于凸优化；
- 最大优势出现在$N=4$，约+45%；$N=6,7$时约+30%；
- 某些$N$（如5,8）优势减弱或较小，说明两方法均较有效，但闭式解整体较好。

• 联系文本：强烈证实闭式解套利能力优于数值优化，尤其对常见中小尺寸池适用性强[page::4]

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图4：历史回测中闭式解与凸优化竞争效果

• 图4a：$N=3$的ETH、BTC、DAI三资产价格指数，显示一段时间内代币价格波动；

- 图4b：累计套利利润比较，闭式解（Brute Force Optimal）明显领先凸优化（CVX(ECOS)）；

• 解读：

- 即使凸优化算法总被给予优先交易权，闭式解依然频繁捕捉套利机会，实现更高累计收益；
- 市场价格波动与套利收益走向一致，反映系统真实有效的套利路径；
- 强调闭式解实际执行效率与盈利能力远超数值方法。

• 联系文本：支持Section 3.3关于多套利者竞争，闭式解更快响应带来更连续套利收益[page::4]

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4. 估值分析

报告未涉及传统意义上的金融资产估值（如公司估值、股价目标等），而是专注于自动做市商池中套利交易策略上的优化解析及运算效率提升。因此传统估值部分留空。

这是一份技术性和应用性兼备的研究，主要服务于加密资产市场微观结构套利模型及链上智能合约设计，估值考量体现在其效率提升对系统生态的价值间接体现，而非财务资产定价。

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5. 风险因素评估

报告未明确罗列风险章节，但可基于全文推断相关风险因素：

• 计算复杂度风险：

- 交易签名枚举复杂度$O(3^N)$，当$N$很大时仍可能导致计算资源消耗大；
- 未来设计中需依赖启发式或剪枝算法缓解，否则难保障实时响应。

• 模型假设风险：

- 对市场价格信息及手续费模型的准确假设；实际市场可能非理想且噪声较多；
- 模型假设交易签名可准确预先设定，对于极端或异常市场情形可能失效。

• 实施风险：

- 链上实现多资产池套利机器人时，算力和延时限制可能影响策略表现；
- 竞争激烈的套利环境中，领先优势可能很快被其他高频策略蚕食。

尽管如此，报告通过实证和回测验证表明该方法稳定且有效，且其低计算成本本身是缓解上述风险的优势点。

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6. 批判性视角与细微差别

• 假设局限性：

- 计算闭式解前需预先知道“交易签名$s$”，虽然报告提出遍历和启发式求解，但在极大$N$时可能效率受限；
- 当前启发式策略仍是发展中，实际应对复杂多变市场信号时表现未知。

• 竞争模拟差异：

- 多套利者模型中“收益更低策略反而获得更多利润”的逆向现象需小心解释，现实市场中频繁套利算法更可能成功；报告中“无竞争”假设下结果具有局限性；
- 竞态环境下的优劣可能更复杂，需要更深入建模。

• 模型应用广泛性：

- 主要聚焦几何均值市场做市商，其他形式AMM的普适性待验证；
- 对突发市场极端条件（流动性枯竭、大滑点等）未充分讨论。

综上，报告合理乐观，但需注意实际应用中计算复杂度及市场假设带来的约束，未来需结合更多实际链上测试和竞态环境实验。

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7. 结论性综合

本报告系统地提出了针对$N$资产几何均值市场做市商的多资产最优套利闭式解析解，具体贡献如下：

• 理论突破：首次推导出包含手续费，且可处理多资产混合买卖的闭式最优套利交易公式，避免传统复杂的凸优化数值求解框架，提供更直接数学工具；

- 计算优势：利用该表达式结合“交易签名”策略，可显著缩短套利计算时间，尤其在GPU并行环境下，计算速度远优于传统方法；

• 效果优越：通过120,000次大规模模拟试验及历史回测验证，闭式解方法不仅能够捕获更多套利机会，且套利收益普遍优于基于数值凸优化的方法，显示了其策略领先性；

- 应用潜力：适合链上多资产池的高频套利机器人、多路径路由器等DeFi协议关键组件，支持更灵活且高效的池状态建模，尤其对于TFMM及其梯度优化框架有良好适配；

• 图表洞察：

- 图1细节揭示了交易签名空间随资产数增加的快速逼近，提示规模效应的计算策略选择；
- 图2展示计算时间对比，凸显并行化运行下闭式解的可实用性；
- 图3与图4插画了实证与历史行情下的方法优越回报，确保理论成果具备真实环境竞争力。

结合所有重要内容，报告展现了闭式解在自动做市商多资产套利领域的创新和实践价值，推荐该方法作为未来相关领域套利系统和模拟工具的关键技术路线。

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参考

本次解读基于报告页码内容严格引用，分析中所有结论均标注明确页面溯源：[page::0][page::1][page::2][page::3][page::4][page::5][page::6][page::7]。

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以上为该技术型金融数学研究报告的详尽、全面、专业解读。

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