• 期权定价背景与量子算法动机 [page::0][page::2][page::3][page::4][page::5]：

- 期权是基于标的资产价格的金融衍生品，路径依赖期权需计算多个时点价格联合分布。
- 现有量子蒙特卡洛算法理论上可实现定价加速，但制备编码路径分布的量子态成本高，尤其针对路径依赖期权。

• MPS作为时间序列生成的量子态制备方案 [page::1][page::5][page::6][page::7]：

- MPS（矩阵乘积态）能用较低复杂度表达高阶张量，适合生成多时点资产价格联合分布。
- 设计离散化数据映射与MPS结构，采用KL散度最小化的对数似然训练，并结合张量纠正(SVD截断)提高模型表现。
- 允许直接采样时间序列，实现生成负载到量子态的概率分布，满足量子算法预备条件。

• 数值实验设计及参数设置 [page::8]：

- 以Heston模型生成1万个路径样本作为训练数据。
- 时间序列长度固定为5，采样间隔为日度（Δt=1/250），物理维度$m=4,5,6$，最大键维度$D{max}=64,100,150$。

• MPS模型拟合能力分析及实验结果 [page::9][page::10][page::11]：

- 提高物理维度$m$和$D{max}$均提升模型对标的价格分布的拟合精度，分布逼近Heston真实分布。
- 价格路径分布、欧式期权隐含波动率(IV)、以及亚洲、回望、障碍期权的定价结果均趋近于Heston模型所生成数据定价。

- 各期权定价与IV对比（带标准误差）：

| 模型 | 欧式期权价格 | 欧式期权IV | 亚洲期权价格 | 回望期权价格 | 障碍期权价格 |
|---------------|--------------|------------|--------------|--------------|--------------|
| Heston | 1.1098(0.0052) | — | 0.1967(0.0009) | 0.6195(0.0035) | 0.9894(0.0049) |
| MPS (m=4) | 0.6277(0.0031) | 0.1113(0.0005) | — | 0.2771(0.0020) | 0.5769(0.0028) |
| MPS (m=5) | 0.8626(0.0034) | 0.1529(0.0009) | — | 1.1625(0.0039) | 0.8304(0.0029) |
| MPS (m=6) | 1.0805(0.0041) | 0.1915(0.0007) | — | 1.4612(0.0049) | 0.9160(0.0030) |

- 最大键维度对拟合影响：

- 键维度提升使分布拟合更好、期权定价更精确，但部分障碍期权定价表现异常，指向模型生成路径中“越界”问题。

• 量化策略相关性：

- 本文核心贡献在于基于MPS构建时间序列概率模型以高效编码路径分布，体现了一种新型的量子态预备技术，有望结合量子蒙特卡洛进行路径依赖期权定价，推动量化金融中的量子计算应用进展。

金融研究报告深度分析报告

报告标题：Time series generation for option pricing on quantum computers using tensor network
作者：Nozomu Kobayash, Yoshiyuki Suimon, Koichi Miyamoto
发布机构：野村证券数据科学部（Nomura Securities Co., Ltd.）与大阪大学量子信息与量子生物中心
发布时间：2024年2月28日

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1. 元数据与概览

该报告聚焦于量子计算在期权定价中时间序列生成的应用，提出基于矩阵乘积态（Matrix Product State, MPS）作为生成模型生成底层资产价格的时间序列，进而支持路径依赖型期权的定价。期权定价作为金融领域中一个极具实际价值的方向，正逐渐借助量子计算寻求在蒙特卡洛方法上的加速。文章核心主张为：借助MPS这种张量网络模型，不仅能高效地模拟多时间点联合分布，还能为量子态制备提供支撑，减轻量子计算在状态制备上的复杂度。作者通过实验以著名的Heston模型作为标的，验证了MPS模型有效地生成了符合该模型的资产价格路径，并以此计算了包含路径依赖的多种期权价格，表现出较高的精度与实用性。

核心信息传达：

• MPS作为强大且灵活的生成模型有望解决路径依赖期权价格中联合分布的量子状态制备难题。

- 利用经典计算先训练MPS模型，随后将MPS编码进量子态以进行量子蒙特卡洛积分，实现高效期权定价。

• 实验结果验证MPS模型可成功还原Heston模型时间序列分布，并在定价多种路径依赖期权时表现良好。

无明确给出投资评级或目标价，但整体对MPS在量子金融计算的应用前景提出积极展望和方法论基础。

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2. 逐节详尽剖析

2.1 引言（Abstract & Introduction）

• 关键论点与信息概述：

报告开篇明确量子计算在金融领域的潜力，特别是利用量子蒙特卡洛积分（QMCI）理论上的二次加速。当前主流的量子状态制备方法如Grover-Rudolph方法存在算术运算电路繁重、操作复杂度高等瓶颈，无法满足路径依赖期权中多时间点联合分布的编码需求。报告指出“时间序列分布”量子态制备的缺失正是研究空白。

• 推理依据：

依据量子幅度估计（Quantum Amplitude Estimation，QAE）的理论可以对期权价格的期望值进行加速求解。[6]提出QMCI可实现加速，但缺陷在于对数据分布的量子状态准备。报告强调时间序列数据的状态制备难度高于单时点分布，需要联合分布的编码。

• 关键数据点和假设：

报告提出用MPS等张量网络方法简化高维联合分布，提高状态制备效率，基于MPS的生成模型已在量子波函数表征与生成模型领域获得成功。重申准备用经典计算先训练，后用生成模型在量子电路中高效装载。

2.2 金融背景 (Section 2)

• 期权基础:

报告简明扼要地介绍期权基本概念，区分了欧式期权与路径依赖期权，如Asian、Lookback、Barrier期权，清晰给出其对应的支付函数。

• 定价挑战：

价格表示为在风险中性概率下，支付函数对资产价格路径的期望。对于BS模型，存在解析解，但对于包括随机波动率的Heston模型等更复杂模型，需数值方法求解。

• 蒙特卡洛方法定义：

路径生成时间序列为离散样本，多个路径（样本）用于支付方差估计，精度误差$\epsilon$对应路径数量需达$O(1/\epsilon^2)$，计算成本显著，奠定量子蒙特卡洛积分加速需求的基础。

• Heston模型介绍:

该模型通过引入随机波动率使资产价格动态表现得更接近现实，系统以两个相关的Wiener过程驱动，参数$\kappa$、$\theta$、$\xi$、$\rho$控制波动率均值回复及相关性，模型反映波动率动态和波动率微笑现象，比BS模型更具表现力。

• 量子定价流程：

明确三个步骤：
1. 状态制备：将价格路径联合概率编码入量子态
2. 编码支付函数幅度至辅助量子比特
3. 利用QAE估计期望支付，获得定价

公式明示状态的数学表达，证明了对测量辅助比特为$|1\rangle$概率即为期望支付，理论上实现$O(1/\epsilon)$的加速。

• 挑战:

强调状态制备过程$\mathcal{P}$特别是对路径联合分布的编码是主要瓶颈，高效的实现方式亟待研究。

2.3 MPS生成模型方法 (Section 3)

• 目标: 利用MPS作为生成模型重构时间序列的联合分布。

- 模型结构:
数据集$\mathcal{T}$由多个样本组成，每个样本是$M$个时间点组成的序列，离散化步骤将连续价格映射至0到$2^{m}-1$的整数集合，适合量子比特编码。

• MPS定义:

生成概率由MPS张量网络定义的张量乘积给出：
$$
p{\theta}(\bar{x}t) = \frac{|\Psi(\bar{x}t)|^2}{Z}
$$
其中$Z$为正规化分区函数。每个时间点对应一阶张量的一个物理维，张量间通过“bond dimensions”连接，控制模型表达能力。

• 创新点:

与传统MPS逐位表示二进制不同，作者选择直接以每个时间点为一个物理维，增强前后时间点之间的相关性表达能力。

• 训练方法:

采用最小化样本负对数似然函数$\mathcal{L}$，即最小化KL散度。
使用交替更新的“Sweeping Algorithm”，合并相邻张量更新，施加奇异值分解截断调整bond dimensions，类似密度矩阵重正规化群(DMRG)，边精度和计算成本间取得平衡。

• 样本生成:

可计算边缘概率并逐步抽样完成生成，避免了MCMC方法的耗时，直接从MPS模型生成时间序列样本，最终逆离散化恢复为连续值。

2.4 数值实验 (Section 4)

• 实验设计:

- 模型参数固定（Heston模型的$\kappa=1.0$, $\theta=0.04$, $\xi=2$, $\rho=-0.7$等）
- 时间序列长度$M=5$，步长对应每日收入$\Delta t=1/250$
- 生成训练样本$N=10000$路径，利用Euler-Maruyama方法离散化
- 对MPS模型：物理维度取$2^m$，考虑$m=4,5,6$；最大bond dimension $D{\max} =64,100,150$
- 综合比较由MPS和真实Heston模型生成的路径分布及对应不同期权的定价结果。

• 实验结果解析:

- 价格分布匹配（图1和图2）：
分布随$m$和$D{\max}$提升逐渐接近Heston模型真实样本， $m=4$时网格过稀，分布不均匀，导致局部集中现象， $m=6$时效果显著改善，显示高物理维度对捕捉真实分布重要。
同理，较大bond dimension能表现更多复杂依赖结构，有助于概率分布的精确拟合。

- 期权价格和隐含波动率（IV）对比（表1和表2）：
对欧式、Asian、Lookback期权价格拟合良好，尤其$m=6$, $D{\max}=150$组合，IV的误差在实际可接受范围内，表现出MPS模型在路径价格海量模拟条件下可行性。
但Barrier期权价格误差较大，提示MPS对涉及路径极值的条件概率建模存在困难，增加物理维或换用更复杂张量网络可能改进。

• 潜在误差来源：

Barrier期权价格被低估，可能是MPS模型导致生成路径中过多超过障碍的极值路径，影响期望条件计算，提示模型存在过拟合边缘事件的问题，未来可引入正则化或调整架构。

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3. 图表深度解读

图1（第9页）—— 不同物理维度下的资产价格分布

• 描述: 显示$t1,t3,t5$三个时间点资产价格的概率密度函数，由MPS模型在$m=4,5,6$以及Heston模型样本生成。

- 趋势解读: 随$m$增加，MPS生成的分布更平滑并逼近Heston真实曲线；$m=4$时分布离散且集中于有限价格点，显示离散粒度过大导致表现力不足。

• 联系文本主张: 图示印证了较大物理维度有助于准确还原时间序列分布，支持训练MPS模型捕捉期权路径联合分布的论点。

表1（第10页）—— 不同物理维度下期权价格及隐含波动率

• 内容描述: 对比MPS模型于$m=4,5,6$各路经生成样本下计算的欧式、Asian、Lookback、Barrier期权价格，及欧式期权隐含波动率（IV），与Heston模型结果对比。括号内为标准误差。

- 数据解读:
- 随$m$提升，所有期权价格均趋近Heston模型；
- IV同样随着$m$增大更接近Heston，$m=6$时误差仅为几百分之一。
- Barrier期权误差仍较大，表明模型难以捕捉路径相关的极端事件概率。

• 意义: 数据体现MPS在物理维度方面的敏感性和选择重要性，支持提升$m$以增强模型逼真度。

图2（第11页）—— 不同最大bond dimension下资产价格分布

• 描述: 固定$m=6$，调整最大bond dimension $D{\max}$为64,100,150时，同样展示$t1,t3,t5$资产价格概率分布。

- 趋势解读: 随$D{\max}$增大，模拟的概率分布更向真实Heston分布靠近，显示bond dimension是MPS模型表达复杂性和准确度关键因素。

• 附表2：对应表格表明大型bond dimension有助于提升期权价格估计准确性，但对Barrier期权价格估计则表现不一，价格偏差加大。

- 综合说明: 表明更大模型容量可提高模型拟合效果，但也可能助长对极端路径的过度生成，需慎重权衡。

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4. 估值分析

报告中主要聚焦于路径生成模型和期权定价的蒙特卡洛数值方法，未直接涉及传统金融估值模型如DCF或多因子估值。但在对欧式期权的价格结果中引入了隐含波动率(IV)的概念，作为比较不同模型期权价格的无量纲指标，方便市场实际应用的对比与解释。

IV的反求基于Black-Scholes模型解析解，体现市场对标的资产未来波动率的预期，报告通过比较MPS模型生成的期权价格计算得到的IV与真实模型价值，分析模型性能。此IV应用作为估值准确性衡量的间接指标，提升报告专业性及实用价值。

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5. 风险因素评估

报告隐含风险包括：

• 模型误差风险：MPS模型在高维度、复杂路径依赖期权建模中的拟合能力存在局限，尤其对Barrier期权敏感度较低，可能低估价格，导致投资决策风险。

- 训练与采样风险：训练过程对奇异值截断的阈值、bond dimension上限、物理维离散化精度选择可能对生成结果产生显著影响，风险来自模型过拟合或欠拟合。

• 量子态制备挑战：尽管提出了使用MPS对应生成电路降低量子态制备复杂度，但实际量子硬件的状态制备仍面临门数爆炸、噪声等技术风险，难以保证理论上的加速优势。

- 路径依赖敏感性：Barrier等路径依赖产品对极端路径事件非常敏感，模型对这些事件概率的准确性不高，风险显著，需未来更复杂张量网络架构改进。

报告虽未直接给出缓解策略，但提出增加物理维、扩展模型体系结构、引入正则化技术作为未来研究方向，隐含对模型提升的方案。

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6. 批判性视角与细微差别

• 偏见与强烈观点：报告积极推广MPS在路径依赖期权定价的应用，但对于Barrier期权表现欠佳仅作简单说明，未深度剖析模型潜在结构局限和训练数据生成偏差，呈现一定积极的展示倾向。

- 假设稳健性：基于Heston模型合成的训练样本，模型训练和验证过程相对理想；现实金融市场波动复杂多变，可能存在超出模型捕捉范围的非高斯特征，报告对此识别不足，泛化能力有待验证。

• 内部逻辑矛盾：对Barrier期权价格随着bond dimension增大而偏差加剧的结果未深入解释，若bond dimension越大表达力越强，理论上应提升拟合度，这里的性能下降暗示模型对极端事件学习不稳定，提示训练方法或模型架构需优化。

- 量子实现挑战：虽然MPS为量子态制备提供理论支撑，但报告未详细给出对应电路复杂度分析和当前硬件可行性，量子算法落地的实践难点仍较大。

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7. 结论性综合

该报告深入探讨了基于矩阵乘积态（MPS）作为生成模型，生成标的资产价格的时间序列以支持量子蒙特卡洛积分（QMCI）中期权定价的可能性。研究基于经典计算机训练MPS模型近似Heston模型中资产价格路径联合概率分布，随后利用该模型生成价格路径进行路径依赖期权（Asian、Lookback、Barrier等）定价。

从整体上看，MPS模型成功重构了路径时间序列的分布特征，尤其在物理维度和bond dimension设定较高时，所生成的资产价格分布及对应期权价格与真实Heston模型计算结果高度吻合，隐含波动率指标表明欧式期权价格拟合良好。

图表中，概率分布直观展示了随着模型参数调整，生成的价格分布逐渐逼近真实模型。定价表格系统展现了MPS在不同超参数下的估值表现，确认了提升模型复杂度对结果准确性的正向贡献。特别是欧式及大多数路径依赖期权价格反馈出极佳拟合，但Barrier期权的较差结果点明模型对路径极值事件捕捉能力有限，提示未来需要更复杂的张量网络结构或训练方法的创新。

报告明确表达了MPS模型作为现有挑战——量子态制备难题——一种极具潜力的解决方案，同时也是从经典生成模型向量子算法过渡的桥梁。结论部分强调了该方法在金融量子计算领域的创新性突破，并展望了未来对多模型适配、量子电路实现，以及全流程端到端量子期权定价实现的研究方向。

综上，报告从金融理论基础、量子算法背景、张量网络技术到实验验证层层铺垫、系统论证了MPS生成模型在路径依赖期权量子定价中的应用前景，并提出了切实的未来探索路径。对于金融科技与量子计算交叉领域研究者具有高参考价值。

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总结

• 报告明确提出并实现了将MPS生成模型应用于量子计算路径依赖期权定价的创新方法。

- 详尽阐释金融期权及量子蒙特卡洛积分背景，强化理论基础。

• 数值实验用Heston模型训练与评价生成路径，验证MPS模型具备生成复杂时间序列联合分布的能力。

- 物理维度和bond dimension为模型调优关键。较大参数显著提升生成精度和定价准确性。

• Barrier期权价格表现凸显模型在极端路径事件捕捉上的缺陷。

- MPS结构与训练方法的详细介绍，并结合量子算法实现潜力，突出跨学科融合。

• 研究展望清晰，涵盖多模型扩展和量子硬件实现等诸多挑战。

整体而言，本报告为金融领域量子算法落地提供了有力方法论支撑与实证，具有高技术含量与创新价值。

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引用溯源：[page::0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11]

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