研究背景与动机 [page::0][page::1]

• 经典Black–Scholes模型的固定波动率假设难以捕捉市场笑脸与厚尾等特征，刺激了随机波动率模型的发展。

- 传统标的如Heston模型通过二阶渐近展开实现隐含波动率的解析近似，便于参数校准。

• 粗波动率模型如粗Bergomi更能拟合实证中的波动率粗糙性，但缺乏解析解及有效的标定方法。

- 签名方法利用路径的迭代积分构造非参数模型，提供更强的表达能力和灵活性。

签名方法理论基础 [page::3][page::6][page::15][page::18]

• 签名是路径迭代积分的序列，具备群性质与乘法结构（shuffle积），能线性表示多项式。

- 粗路径理论构建$ p $-粗路径，扩展迭代积分定义至低正则性路径，实现了不依赖平稳模型的积分定义。

• 时间增强（time-augmentation）使签名映射保留时间信息，实现路径唯一性（可逆性）。

- 两个重要的泛函逼近定理（第一、第二通用逼近定理）保证了连贯连续的函数可以用线性签名函数近似。

签名基础的波动率模型构建 [page::22][page::23]

• 以时间增强的主噪声路径$\mathbf{X}$为输入，波动率模型表达为签名的线性函数$\sigmat(\ell)=\langle \ell, S(\mathbf{X})t^{\leq N}\rangle$。

- 该模型覆盖经典Heston模型特例，通过计算$S(\mathbf{X})t$的截断签名及其迭代积分构造拟合的波动率。

• 价格过程记录为随机指数鞅，具体表现为依赖向量$\ell$、签名特征及相关布朗运动的指数函数。

- 数值中需计算高阶签名（如$2N+1$级）形成矩阵$Q(t)$，后者具有负半定性，支持数值分解和优化。

校准数值实验：与二阶渐近方法对比 [page::29][page::31][page::34]

• 对无相关($\rho=0$)及有相关($\rho=-0.5$)的Heston模拟数据做校准，签名模型收敛至与二阶渐近法相当的误差水准，且部分情形下更优。

- 签名模型能成功捕获波动率与驱动过程$Xt$之间的强线性关系（回归系数接近1）。

• 误差分析覆盖20组不同行权价与到期时间，绝对隐含波动率误差多在0.1%以内，体现高拟合精度。

- 局部分成熟度校准进一步优化拟合效果，揭示签名方法灵活度。

粗Bergomi模型下的签名法表现 [page::36][page::37]

• 当市场数据由粗波动率驱动（粗Bergomi模型，H=0.1）产生时，签名模型仍能实现极优拟合，误差较经典二阶方法更小。

- 示范说明签名法无需假设波动率过程的特定参数化结构，展现模型非依赖性与广泛应用潜力。

计算性能与总结 [page::38]

• 签名截断等级$N=3$下全曲面拟合耗时约90分钟，分成熟度拟合耗时不足4分钟，具备实际应用可行性。

- 签名表现阶乘衰减特性稳定，计算可由GPU加速及现代线性代数优化支持。

• 整体而言，二阶渐近法适用于受限假设的快速场景，签名方法适合更广泛复杂波动率动态的灵活建模与标定。

金融研究报告详尽分析报告

1. 元数据与概览

报告标题：
Volatility Modeling with Rough Paths: A Signature-Based Alternative to Classical Expansions

作者与机构：
Elisa Alòs、Òscar Burés、Rafael de Santiago、Josep Vives
发布日期：2025年8月1日

研究主题：
本报告聚焦于隐含波动率曲面的校准问题，具体比较两种截然不同的方法：一种是基于Heston模型的第二阶渐近展开法（Alòs等，2015提出），另一种是无参数、基于粗糙路径理论中的路径签名（path signatures）的数据驱动方法。研究涵盖波动率模型的参数拟合与校准，以及模型在粗糙波动率环境下的适用性。

核心论点与目标：

• 第二阶渐近展开方法利用Malliavin微积分推导出在Heston模型框架下的有效校准公式，计算效率高，准确度强，但局限于Heston模型参数设定。

- 基于路径签名方法无须指定特定参数模型，利用主噪声过程的路径签名线性函数逼近波动率，具备更强的灵活性，尤其适合处理粗糙（fractional-like）及非马尔可夫的波动率动态。

• 数值实验显示，路径签名方法在Heston模型下与渐近展开法获得相近精度，且在粗糙Bergomi模型下依然表现出色、稳健，展现了这一数据驱动方法跨模型的适用价值和鲁棒性。

关键词：
随机波动率，分数波动率，粗糙路径理论，路径签名，隐含波动率校准

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2. 逐节深度解读

2.1 引言（第0-1页）

报告开篇回顾了经典随机波动率模型起源及发展，从Hull-White(1987)、Stein和Stein(1991)、Heston(1993)到近年来的参数渐近展开技术，展示了通过解析近似提升隐含波动率拟合的理论基础和实用价值。指出传统参数模型存在灵活性不足及无法捕捉粗糙波动率特征的短板。粗糙路径和路径签名技术作为无模型假设的非参数方法，近年在机器学习和金融时间序列分析中兴起，作为解决复杂波动率建模新途径受到关注。

2.2 第二阶隐含波动率近似（第2-3页）

详细介绍Heston模型动态（公式2.1和2.2），定义基础资产的对数价格过程和期权定价公式。阐明Heston模型中隐含波动率$I(T,K)$的定义与计算挑战。
介绍Alòs et al. (2015)方法的三步策略：

• 先近似期权价格

- 继而利用Malliavin微积分获得隐含波动率的第二阶闭式表达式

• 利用ATM期权期限结构对模型参数进行校准

推导了针对小到期时间、远期ATM及ATM涨跌幅区域的隐含波动率渐近公式（式 2.3，2.4，2.5），通过线性拟合不同期限和履约率的数据估计参数$\sigma0, \nu, \kappa, \theta, \rho$。此方法在模拟数据中表现准确，但限制在Heston模型假设范围内，难以完全体现市场上的粗糙与非马尔可夫波动率特征。

2.3 路径签名理论基础（第4-20页）

本部分构建签名方法的数学核心，涵盖：

• 路径积分的难题： 传统积分定义依赖路径平滑、变差有界；当路径正则性低（如Hölder指数$\le\frac{1}{2}$）时，Riemann–Stieltjes和Young积分不再成立，需要扩展积分理论。

- 路径签名的构造与意义： 利用多重积分（iterated integrals）串联成“签名”，此结构可视为对路径全信息的压缩且满足代数性质（乘积对应shuffle积）。

• 张量代数与shuffle积： 介绍张量幂空间$V^{\otimes n}$和扩展张量代数$T((V))$，定义路径签名元素与shuffle乘积，揭示签名空间丰富的代数结构。

- 多重积分的递归展开及Chen恒等式： 路径签名拥有乘法分解特性，可分段计算、逆推出路径信息。

• 粗糙路径的定义与拓展（包括弱几何、几何粗糙路径）：

局限于有界变差路径的签名观念延伸至$p$-变差路径，粗糙路径理论确保迭代积分在非光滑场景下有合理诠释。介绍Stratonovich提升及Itô积分非群性质的区别；

• 时间扩展与时间增强路径： 时间作为路径额外维度，提升后路径签名对参数化（路径速度）敏感，提高识别能力，增益学习效果。

- 签名的唯一性定理（Theorem 3.27）： 路径的时间增强签名唯一标识路径，保证模型的可辨识性。

• 通用近似定理（Theorem 3.28, 3.30）： 任意连续函数（包括适应性函数）可通过签名的线性函数逼近，理论上支持基于签名的非参数建模设计。

2.4 签名基波动率模型建立（第22-27页）

基于签名的波动率模型框架提出：

• 在零利率假设下，资产贴现价$\tilde{S}t$满足随机微分方程

$d\tilde{S}t = \tilde{S}t \sigmat d Bt$

• 假定波动率$\sigmat = f( (\mathbf{X}s){s\le t} )$，其中主驱动过程$\mathbf{X}$为停止的时间增强的弱几何$p$-粗糙路径。

- 应用通用近似定理，用截断签名的有限级线性组合逼近$f$：
$$\sigmat(\ell) = \sum{|I|\le N} \ellI \langle eI, S(\mathbf{X})t^{\le N} \rangle$$

• 以Heston过程为例展示$N=2$及$N=3$的截断签名展开，包含多重积分形式，说明模型如何涵盖经典参数模型。

- 推导资产价格显式表达式（Proposition 4.2），利用签名的shuffle积属性，明确收益过程的对数表达包含一个二次型项和一个随机积分项；二次型矩阵$Q(t)$由高阶签名项计算得出，并保持负半定。

• 讨论了维度爆炸问题：$N=3$时$Q(t)$涉及长达7级的签名，空间维数达$2^{8}-1=255$，计算量大，但借助现代GPU和数值线性代数工具可缓解。

2.5 校准策略与算法（第27-29页）

• 利用某参数化模型（例如Heston）产生理论价和样本“市场”价，定义加权最小二乘损失。

- 签名参数为截断签名的系数向量$\ell\in \mathbb{R}^{d_N}$，校准目标为最小化损失。

• 校准算法分两步：

1. 利用蒙特卡洛模拟生成价格路径，计算签名及相关积分。
2. 迭代优化$\ell$，计算权重价格，更新损失。

• 计算瓶颈为矩阵$Q(t)$的构建和签名积分的数值计算，在硬件条件与代码优化支持下满足实用性能需求。

2.6 数值分析与模型比较（第29-37页）

• 无相关性情形（$\rho=0$）：

- Alòs等（2015）渐近展开法的校准结果准确（表1），与签名基法在隐含波动率拟合上误差均在千分位水平。
- 签名模型最优参数$\ell^*$明显捕获了对Heston过程波动率的线性依赖，验证了模型具有解释力和有效性。
- 图1-5展示了两方法对隐含波动率曲面及各期限波动率笑面的高度吻合。
- 单独针对各期限的局部校准（图6）进一步提升拟合精度，反映签名方法在局部结构捕捉上的优势和灵活性。

• 关联性情形（$\rho = -0.5$）：

- 采用同样校准流程，虽然签名模型最优参数与理论参数有一定偏离，仍实现较优拟合（误差略逊于无相关），保持误差较低（表2）。
- 隐含波动率曲面（图7）及各期限波动率笑面（图8-11）中，签名方法表现与第二阶展开法相仿，且多处超越后者，体现模型对市场相关性的适应性和鲁棒性。

• 粗糙Bergomi模型市场：

- 当市场实际由粗糙Bergomi模型生成，签名方法依然能通过Heston型主噪声过程的签名逼近快速拟合（loss显著优于前例）。
- 该结果展示签名模型的“模型无关性”特点，能有效拟合和校准远离传统参数假设的复杂粗糙波动率市场（图12）。
- 系数估计呈现近似的阶乘衰减，体现数值稳定性与理论预期一致。
- 细节误差数据（附录C）证明点位误差均极小。

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3. 图表深度解读

图1（第31页）

描述：
面向30个到期时间和行权价组合点的三维散点图，展示签名方法(SIG IV)与渐近展开法(ASV IV)的隐含波动率拟合效果，蓝色圆点为SIG IV，红色三角为ASV IV。

解读：
两组拟合结果高度重合，差异极小，验证了签名模型在Heston基础上的拟合能力完全匹配传统技术。

支持结论：
图表直观显示签名模型的拟合精度与传统模型相当，符合报告对比验证内容。

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图2-5（第31-32页）

描述：
分别为到期时间$T = 0.1, 0.6, 1.1, 1.6$下波动率笑面，坐标为行权价与隐含波动率，真实市场数据为绿色线，SIG IV为蓝点，ASV IV为红叉。

解读：
SIG IV与ASV IV紧密跟踪真实波动率曲线，局部拟合质量极佳，特别是在ATM邻近区域。

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图6（第33页）

描述：
分别针对4个期限单独拟合的波动率笑面图，展示签名模型独立校准效果。

解读：
相比整体联合校准，局部拟合显著提升，表明签名方法对期限依赖型波动率结构的捕捉能力以及灵活度突出。

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图7（第34页）

与图1类似，为关联Heston市场下的隐含波动率拟合对比图。

解读：
在存在负相关$\rho=-0.5$情况下，SIG与ASV依然表现较好，二者波动率散点重叠，虽差异略大但仍处于可接受校准误差范围。

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图8-11（第35-36页）

分别为$ T=0.1,0.6,1.1,1.6 $对应关联市场下的波动率笑面展示。

观察：
签名模型整体跟踪真实隐含波动率曲线，少数点位偏差稍大，整体优于或匹配传统方法。

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图12（第37页）

粗糙Bergomi市场与签名模型隐含波动率拟合对比图。

解读：
相比传统模型无法适应粗糙波动率，签名方法拟合点几乎重合，说明其极强的模型自由度与泛化能力，能够成功覆盖和学习复杂非Markovian结构。

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4. 估值分析

报告没有明确提出基于传统金融估值模型的估值计算；而是通过签名函数线性组合近似波动率，再结合确定性积分和随机积分表达价格过程（4.5），间接完成期权价格的模拟和定价。

关键估值机制：

• 签名向量的线性组合参数$\ell$作为模型参数；

- 利用高阶签名及其shuffle积架构构造二次型矩阵$Q(t)$，修正价格的方差项；

• 根据蒙特卡洛仿真计算期权价格，求解隐含波动率；

- 采用L-BFGS-B优化算法调整$\ell$使模型价格拟合市场价格。

此估值方法摆脱了模型固有参数及隐含波动率面解析公式依赖，针对更广泛波动率结构有效。

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5. 风险因素评估

报告没有集中章节专门展开风险分析。基于文本推断，潜在风险要素包括：

• 模型选择风险： 渐近展开方法依赖于Heston模型，若市场出现非Markovian或粗糙波动率行为，则估计偏误加大。签名方法虽灵活但易受截断阶数和数值误差影响。

- 截断误差风险： 签名截断等级$N$越高，拟合能力越强但计算成本和维度爆炸风险增加，计算资源不足可能导致欠拟合或过拟合。

• 数值稳定性风险： 高阶签名包含大量迭代积分，数值计算效率和稳定性关键，如未妥善处理，可能引入噪声和校准误差。

- 数据风险： 依赖合成市场数据，真实市场异质性和数据噪声可能对模型拟合产生影响。

报告整体未系统呈现缓和策略，但提及GPU加速、分层校准和合理截断作为减缓计算风险的实践。

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6. 审慎视角与细节

• 模型的强烈假设： 渐近展开法固然高效，但局限于Heston模型，难以形成对复杂或非Markovian市场行为的彻底描述。

- 签名模型截断层级与计算负担权衡： 报告提及阶数升高质量提升有限，但计算资源消耗显著，暗示在实际应用中需平衡模型复杂度和可执行性。

• 数值逼近的稳定性关注： 签名的阶乘衰减定理为数值稳定性提供理论保证，但真实计算中高阶积分的估计仍存在误差风险。

- 结果对合成数据依赖较大： 报告实验均基于模拟数据，缺少真实市场校验，实际应用前须谨慎验证。

• 隐含波动率的非唯一性问题： 签名经过时间增强消除了路径重新参数化模糊，但实际多源波动率驱动或市场冲击可能带来辨识难题，未深述此类复杂情形。

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7. 结论性综合

本报告系统对比了传统参数化的第二阶渐近展开法与创新的基于粗糙路径理论的签名方法在隐含波动率校准中的表现。总体来说：

• 传统渐近展开方法（以Heston为例）依托明确模型假设，通过精妙的Malliavin微积分技术获得高效精确的校准结果，适合参数空间低维且动力假设合理的市场情形。

- 路径签名方法摒弃了具体模型形态限制，以截断签名线性函数提供任意连续函数的逼近能力，理论支持统一且具有通用性，表现出强大的泛化适应能力，尤其在处理粗糙波动率和非Markovian结构时表现优越。

• 数值实验证明：

- 在Heston市场，签名模型和渐近展开方法的隐含波动率拟合误差均在千分位级别以下，等效且互补。
- 在关联性变量和复杂结构市场中，尽管误差略有上升，签名模型依然表现稳健，呈现适宜的泛化能力。
- 在粗糙Bergomi市场中，未经针对性设计的签名模型依赖于经典主噪声过程依然优异拟合，树立了签名框架处理高复杂度波动的典范。

• 计算开销方面，签名方法需处理高维张量和高阶积分，约需90分钟完成全曲面校准，得益于GPU加速，已可用于实际应用；而局部校准可快速完成，适于实时和批量使用。

- 数学与工程复合优势，签名方法兼顾严谨的理论基础和数据驱动训练兼容性，是未来波动率建模及衍生品校准的重要发展方向。

图表深刻洞察总结：

• 签名模型完整捕获了从时间、路径到波动率走势的高阶信息，充分体现了群性质与shuffle积性质下的统计与代数结构优势。

- 高阶签名项为回归提供丰富且独立的特征空间，具备拟合复杂偏度、波动聚集和不规则波动率路径的潜力。

• 计算和存储需求随着截断阶数指数增长，但阶乘衰减定律保证数值稳定，数据支持在合理范围内截断有效。

- 可视化显示与传统方法拟合的基准贴合使签名模型可信度大增。

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总结

该报告通过理论、建模、数值仿真和严格数学推导，全面系统地展示了路径签名方法作为传统渐近展开法的有效补充，尤其适用于处理粗糙、非Markovian和复杂波动率市场环境，为波动率建模和期权定价校准领域注入了极具前瞻性和实用价值的创新方法。路径签名的高阶信息提取和模型无关特性，为金融时间序列建模开辟新道路，结合GPU计算技术，具备大规模实施潜力。尽管存在计算负担和参数高维带来的挑战，整体框架表现出极大吸引力和实际应用的可行性。

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参考溯源

文中分析及引用对应页码标记如下：
引言及模型背景：[page::0,1]
第二阶近似公式及参数校准策略：[page::2,3]
路径签名数学理论结构：[page::4-20]
签名模型构建与估值方法解析：[page::22-27]
校准算法与数值实现细节：[page::27-29]
数值实验（无相关性）：[page::29-32]
数值实验（相关性）：[page::33-36]
粗糙Bergomi模型校准与案例：[page::36-37]
结论总结与远景讨论：[page::37-38]
附录校验与误差详细列表：[page::39-40]

报告